[¯|¯] Paradossi percettivi e topologia

lunedì, Aprile 10th, 2017

Riprendiamo la questione del post precedente circa la non orientabilità di alcuni spazi topologici. Una formica che si muove sulla superficie di una sfera, può muoversi "all'interno" o "all'esterno" della superficie. La superficie di una sfera è, quindi, uno spazio orientabile. L'orientabilità deriva dall'esistenza di un "verso di attraversamento": un insetto dotato di aculeo può attraversare la superficie dall'interno all'esterno o viceversa. In parole povere, il verso di attraversamento è l'analogo del verso di percorrenza di una curva. Tuttavia l'aspetto interessante è che una formica può muoversi solo all'interno o all'esterno (a meno di perforare la superficie). Ciò non accade, invece, per la formica di Möbius che percorre l'omonima superficie:

Se la formica parte da quella parte della superficie di Möbius che volge verso l'interno, a un certo punto del suo cammino si troverà all'esterno (senza perforare il nastro). Ciò perché la superficie di Möbius non è uno spazio orientabile, per cui non ha senso la distinzione interno/esterno.
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[¯|¯] Dimensione di una varietà topologica connessa

martedì, Aprile 4th, 2017

topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,interpretazione a più mondi, meccanica quantistica

Nella MWI in seguito all'operazione di misura di una osservabile quantistica, l'universo si riproduce in N copie, ove N è la cardinalità dello spettro degli autovalori dell'osservabile medesima. Detto in altro modo, in MWI l'operazione di misura restituisce un multiverso. Tale ente è, a nostro avviso, topologicamente schematizzabile attraverso una varietà topologica sconnessa (i.e. non è possibile trovare almeno una coppia di aperti disgiunti in grado di eseguire un ricoprimento della varietà). In questo modello i singoli aperti (>=2) rappresentano i singoli universi che appaiono in tal modo topologicamente disgiunti. Congetturiamo, poi, che i singoli aperti siano topologicamente connessi, onde per un teorema che dimostreremo in quest'articolo, la dimensione dei predetti aperti (quindi dei singoli universi) è un invariante topologico, ovvero costante in ogni universo. Ciò potrebbe essere una conseguenza del Principio Antropico che esige uno spazio connesso (nel caso contrario non potremmo spostarci da un punto all'altro). Al contrario, dal momento che il multiverso è una varietà topologica sconnessa, potrebbe non avere dimensione costante.

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Se M=(S,Θ) è una varietà topologica deve aversi

dove n_p è la dimensione di M nel punto p. In tal modo la dimensione di M risulta essere un'applicazione da M a N:
topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,interpretazione a più mondi, meccanica quantistica

Proposizione
Condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché n_p sia un invariante topologico i.e. sia indipendente da p, è che M sia uno spazio topologico connesso.
Dimostrazione