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[¯|¯] Esercizio sul prodotto scalare quale tensore covariante di rango 2

sabato, Giugno 3rd, 2017

Esercizio
Studiare la forma bilineare illustrata in fig. 1.
Soluzione
Risulta

per cui la forma bilineare assegnata è un prodotto scalare. Per determinarne l'indice di positività conviene diagonalizzare la matrice G. Applichiamo quindi il procedimento standard di diagonalizzazione, determinando autovalori e autovettori. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico

Quindi

Le componenti degli autovettori corrispondenti all'autovalore -1 sono le soluzioni non banali del sistema omogeneo

Una delle soluzioni è

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[¯|¯] Il prodotto scalare quale tensore covariante di rango 2. Il teorema di Sylvester

venerdì, Giugno 2nd, 2017

Un esempio di tensore covariante di rango 2 è il prodotto scalare, ovvero una forma bilineare che conferisce la struttura di spazio euclideo (o pseudoeuclideo) a uno spazio vettoriale E_n sul campo reale R. Scriviamo

Tale forma bilineare si assume simmetrica:

Definizione

La forma bilineare scritta in precedenza, si dice non degenere se

Denotiamo con G la matrice rappresentativa di g in una base assegnata {e_i}:

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