Esempio di successione convergente

giovedì, Marzo 4th, 2021

limiti di successioni,successioni convergenti — **Fig. 1**

Per provare il risultato di fig. 1, scriviamo:

Cioè

Per n dispari:

Congetturiamo l=1

Quindi

onde l'asserto. In fig. 1 riportiamo il grafico della successione, da cui vediamo che y_{n} tende a 1 per valori minori di 1. Inoltre, la successione non è crescente e la tendenza al limite avviene oscillando. Si noti, infine, che il limite 1 è l'unico punto di accumulazione per il codominio della successione.

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Limiti di successioni. Successioni convergenti

giovedì, Marzo 4th, 2021

Ricordiamo che una successione di elementi di R (o semplicemente successione) è una funzione da N a R:

spesso simboleggiata da:

qui l'intero naturale n è l'indice del termine considerato.Nel caso delle funzioni da R a R avevamo introdotto la seguente locuzione: la funzione f verifica definitivamente la proprietà P intorno a x0, essendo x0 un punto di accumulazione per l'insieme di definizione di f. È essenziale estendere tale locuzione alle successioni, tenendo conto che l'unico punto di accumulazione per N è all'infinito.
Definizione
La successione {y_n} verifica definitivamente la proprietà P, se esiste un indice ν tale che P è verificata da y_n per ogni n maggiore di ν.

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Definizione
La successione {y_n} è convergente se esiste un numero reale l tale che lo scarto |y_n-l| è definitivamente minore di un qualunque numero reale positivo. Cioè