Strani Anelli e paradossi topologici (bottiglia di Klein)

lunedì, Maggio 24th, 2021

strani anelli, hofstadter,bottiglia di klein

Douglas Hofstadter nel suo best seller Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante introduce la nozione di Strano Anello. In sostanza, si tratta di un processo ciclico che si realizza tra due livelli distinti, in cui il livello per così dire "superiore", viene «riportato» al livello inferiore. Come immagine metaforica, Hofstadter utilizza le famose litografie di Escher come ad esempio, Salita e discesa. Ne segue l'esistenza di una componente autoreferenziale che si propaga un numero infinito di volte. Da qui il termine "Anello", in quanto tale oggetto rappresenta l'infinito attraverso un processo finito (la superficie di un anello è finita, ma può essere percorsa un numero infinito di volte).
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[¯|¯] Strange loops e il Teorema di Gödel

martedì, Gennaio 29th, 2019

strange loops, strani anelli, teorema di gödel — **Fig. 1**.

In precedenza, abbiamo esaminato come Douglas Hoftsdater nel suo libro introduce la nozione di strano anello, attraverso metafore che richiamano le fughe di Bach e le litografie di Escher. Il lettore attento avrà sicuramente percepito l'esistenza di un substrato matematico in tali argomentazioni. Incidentalmente, i paradossi che nascono dalle distorsioni percettive delle predette litografie, altro non sono che un contrasto tra finito e infinito. Le contraddizioni assumono connotati più definiti nel paradigma del linguaggio convenzionale, nel momento in cui si formulano asserzioni autoreferenziali. Un esempio molto noto è il paradosso del mentitore; una asserzione del tipo

Questo enunciato è falso (1)
conduce a una evidente contraddizione, giacchè l'enunciato è vero se e solo è falso. L'unica conclusione ammissibile è: l'enunciato (1) non né vero né falso. Diremo, dunque, che è indecidibile.
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