[¯|¯] Dimensione di una varietà topologica connessa

martedì, Aprile 4th, 2017

topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,interpretazione a più mondi, meccanica quantistica

Nella MWI in seguito all'operazione di misura di una osservabile quantistica, l'universo si riproduce in N copie, ove N è la cardinalità dello spettro degli autovalori dell'osservabile medesima. Detto in altro modo, in MWI l'operazione di misura restituisce un multiverso. Tale ente è, a nostro avviso, topologicamente schematizzabile attraverso una varietà topologica sconnessa (i.e. non è possibile trovare almeno una coppia di aperti disgiunti in grado di eseguire un ricoprimento della varietà). In questo modello i singoli aperti (>=2) rappresentano i singoli universi che appaiono in tal modo topologicamente disgiunti. Congetturiamo, poi, che i singoli aperti siano topologicamente connessi, onde per un teorema che dimostreremo in quest'articolo, la dimensione dei predetti aperti (quindi dei singoli universi) è un invariante topologico, ovvero costante in ogni universo. Ciò potrebbe essere una conseguenza del Principio Antropico che esige uno spazio connesso (nel caso contrario non potremmo spostarci da un punto all'altro). Al contrario, dal momento che il multiverso è una varietà topologica sconnessa, potrebbe non avere dimensione costante.

***

Se M=(S,Θ) è una varietà topologica deve aversi

dove n_p è la dimensione di M nel punto p. In tal modo la dimensione di M risulta essere un'applicazione da M a N:
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Proposizione
Condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché n_p sia un invariante topologico i.e. sia indipendente da p, è che M sia uno spazio topologico connesso.
Dimostrazione

Sia

Cioè M' è l'insieme dei punti di M in cui la dimensione di M è n_p₀. Si noti che M' non è vuoto poiché contiene almeno il punto p₀.
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[¯|¯] Spazio topologico connesso

martedì, Aprile 4th, 2017

topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,ricoprimento

Nella definizione di varietà topologica abbiamo visto che un assegnato spazio topologico può essere "localmente" in corrispondenza biunivoca con lo spazio euclideo Rⁿ. Si apre quindi il problema della determinazione dell'intero naturale n che fissa la dimensionalità dello spazio considerato. Dal momento che la nostra definizione ha carattere locale, ci si aspetta che il predetto n vari in funzione del punto. Viceversa, se è indipendente dal punto, si dirà che è un invariante topologico per cui la corrispondente varietà topologica ha dimensione n.

L'invarianza topologica di n deriva da una importante proprietà di uno spazio topologico: la connessione. Dobbiamo perciò introdurre tale nozione. A tale scopo consideriamo un generico spazio topologico (S,Θ).
Definizione