» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il metodo di Eulero e il metodo di König-Lemaray

Con questo importante aggiornamento entriamo nel cuore dei processi ricorsivi. Precisamente, illustreremo il metodo di König-Lemaray, ovvero un procedimento grafico che permette di ricostruire la soluzione approssimata ottenuta con il Metodo di Eulero.

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Limite di funzioni ricorsive. Frattalità

L'argomento di questo post tratta un'idea nata da una conversazione sul gruppo Matematica di Facebook.
Assegnata la funzione

abbiamo visto che denotando con f_n(x) la composizione n-esima di f(x) con se stessa:

si ha:

dove:

Ci poniamo ora il seguente problema:

Problema
Qual è il comportamento di g_n(x) per x->0 se il numero n delle iterazioni tende a +oo?

Iniziamo con l'osservare che l'intero naturale n svolge il ruolo di parametro, nel senso che per un assegnato n (eventualmente per n->+oo), noi studiamo il comportamento di g_n(x) nel limite per x->0. Da un punto di vista formale, possiamo tentare di risolvere il problema proposto assumendo n come variabile indipendente, considerare cioè la funzione reale g(x,n) definita in A:

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