» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] La relazione di perpendicolarità tra rette di un piano, quale relazione in un insieme

domenica, Giugno 24th, 2018

Nello stesso insieme dell'esempio precedente, consideriamo la relazione:

dove σ(r) è l'insieme delle rette perpendicolari ad r. In altri termini, σ è la relazione di perpendicolarità tra rette di un piano. Tale relazione è manifestamente non riflessiva. È però, simmetrica:

Non è transitiva:

(altro…)

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[¯|¯] La relazione di parallelismo tra rette di un piano, quale relazione in un insieme

venerdì, Giugno 22nd, 2018

Consideriamo l'insieme S delle rette di un piano α dello spazio euclideo tridimensionale (spazio ordinario). Sia

essendo ρ(r) l'insieme delle rette di a parallele ad r. In altri termini, ρ è la relazione di parallelismo tra rette di un piano:

La relazione inversa è:

ove

Ma ρ(r) è l'insieme delle rette parallele ad r, per cui anche ρ^-1(r') è l'insieme delle rette parallele ad r. Quindi

Proposizione (Proprietà simmetrica)

Dimostrazione

Proposizione (Proprietà riflessiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che ogni retta è parallela a sé stessa.

Proposizione (Proprietà transitiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che se r è parallela ad s, s a sua volta è parallela a t, necessariamente r è parallela a t.

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