Tangenti a tre cerchi, considerati due a due, da tre punti allineati

martedì, Ottobre 26th, 2021

cerchi tangenti,punti allineati, teorema di menelao

Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Dimostrare che i punti P,Q,R sono allineati (fig. 1).

Soluzione
Cerchi di centro A e B. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli RAD e RBE. Ne segue:

Cerchi di centro B e C. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli PBL e PCM. Ne segue:

Cerchi di centro C e A. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli QAH e QCK. Ne segue:

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Teorema di Simson

domenica, Ottobre 24th, 2021

Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Dimostrare che i piedi delle perpendicolari tracciate da un punto qualunque P di una circonferenza ai lati o prolungamenti, di un triangolo inscritto alla circonferenza sono allineati.

Soluzione

Da un punto P della circonferenza che inscrive il triangolo ABC, si traccino le perpendicolari PX,PY,PZ rispettivamente ai lati BC,AC,AB. Poichè l'angolo PYA è supplementare all'angolo PZA, il quadrilatero PZAY è ciclico. Si veda la fig. 1.
Tracciare i segmenti PA, PB, PC. Con ovvio significato dei simboli:

Analogamente, poiché l'angolo PYC è supplmentare all'angolo PXC, il quadrilatero PXCY è ciclico, dunque:

Comunque il quadrilatero PACB è pure ciclico perchè presente nell'ipotesi del teorema - il triangolo inscritto nella circonferenza e P un punto della stessa - e dunque: