[¯|¯] Tensori misti di rango 2 (parte seconda)

sabato, Giugno 10th, 2017

Per quanto precede ci aspettiamo che gli elementi di matrice T_i^k siano le componenti del tensore T in una base dello spazio vettoriale

Più precisamente, dello spazio

giacché siamo passati dal biduale F_m^** a F_m per mezzo di un isomorfismo naturale. Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

Se {&thetaⁱ} è la base duale associata alla base {e_i}} di E_n, si has

D'altra parte le componenti ω_i del vettore covariante ω sono gli elementi di matrice di tale forma lineare nella base {e_i}:

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[¯|¯] Tensori controvarianti (seconda parte)

lunedì, Giugno 5th, 2017

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

Nel post precedente abbiamo definito i tensori controvarianti di rango 2 quali elementi dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E_n e F_m sul medesimo campo K. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice T^ik siano le componenti del tensore T in una base del predetto spazio.
Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e a meno di un isomorfismo naturale, si riconducono ad elementi appartenenti a E_n e F_n rispettivamente. In ogni caso abbiamo:

ove σⁱ sono le componenti di σ in una base assegnata di E_n^**. Denotando con {η_i} tale base, si ha:
tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale