[¯|¯] Pursuit problem e l'equazione differenziale di Emden-Fowler

sabato, Maggio 3rd, 2014

L'articolo completo è sulla rivista Scientia a questo link

Pursuit problem significa Problema di inseguimento.

Ecco un esempio suggestivo. Abbiamo un recinto quadrato: in A si trova un contadino, in B un maiale e in C l'unica uscita dal recinto. Il maiale vuole scappare e corre in linea retta in direzione dell'uscita. Il contadino corre per riacchiapparlo, con velocità diretta sempre verso il maiale. Più precisamente, il vettore velocità del contadino è diretto in ogni istante verso la posizione corrente del maiale (quindi il contadino non “anticipa” il movimento del maiale, ma corre “istantaneamente” verso il maiale medesimo). Entrambi corrono a velocità costante (per il contadino solo in modulo).
Nell'immagine seguente è riportata la traiettoria seguita dal contadino che riesce ad "acchiappare" il maiale all'uscita C.

Per la risoluzione di questo problema ho impostato un'equazione differenziale imponendo una "condizione di inseguimento", come possiamo vedere dalla figura seguente:

Cioè:

che è l'equazione differenziale della traiettoria. Qui beta è il rapporto tra la velocità u (in modulo) del maiale e la velocità v del contadino. Integrando questa equazione differenziale è facile vedere che deve essere v/u pari alla sezione aurea. Ciò implica che, in realtà, la traiettoria del contadino è un arco di spirale aurea.

Esiste, dunque, un legame tra questo particolarissimo problema di cinematica e la "famosa" sezione aurea. Ho dato un'occhiata in rete e ho visto che c'è una letteratura sterminata su questo problema. Sembra addirittura che se ne occupò Leonardo da Vinci...

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