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[¯|¯] Tipologie di numeri (interi naturali, interi relativi, razionali, reali, complessi)

Ogni tipologia di numero nasce da una esigenza ben precisa, ovvero dare un risultato da un assegnato tipo di operazione. Ad esempio se sommiamo due interi positivi dell'insieme dei naturali N sappiamo che il risultato sarà sempre un intero positivo. Questo è utile perché sappiamo dove andare a trovare il risultato, in quale "scatola", in questo caso l'insieme dei numeri naturali, altrimenti non avrebbe senso. Ugualmente, se si vuole operare una sottrazione, ma in questo caso si può fare ad una sola condizione, ovvero che il numero sottratto sia in modulo più piccolo del numero a cui si sottrae. Ad esempio 7-5 , è lecita perché il modulo di 5 è minore del modulo di 7, inversamente se vogliamo operare 5-7 la cosa creerebbe dei problemi. Perché? Perché il risultato, per quanto si cerchi, non si può trovare nei numeri naturali. Dunque bisogna estendere questi numeri, e trovarne altri che rispondono come risultati dell'operazione in cui li modulo del numero sottratto è maggiore del modulo del numero a cui si sottrae, cioè i numeri -1,-2,-3. etc etc.

Questi numeri, i naturali più i naturali negativi, viene chiamato insieme dei numeri interi relativi, indicato con Z. In questo insieme, dotato di uno zero, di una unità, si possono operare addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni, ognuna di queste operazioni ha un risultato che si trova in Z. Per queste sue peculiarità, l'insieme degli interi viene definito algebricamente come un anello. Ma le divisioni? Anche qui si possono fare ma ad una condizione: che il numero diviso sia un multiplo del divisore. E se si vuole fare, ad esempio 9:4? Come nel caso dei naturali, il risultato di tale operazione non si troverà nell'insieme Z. Perciò anche qui, si deve fare una estensione, immettendo una quantità di numeri che sono soluzioni dell'operazione tra due interi non divisibili. È qui che nasce l'idea di Q, l'insieme dei numeri razionali. Avendo tutte le caratteristiche di Z, ed inoltre potendosi fare la divisione tra due qualsiasi elementi, algebricamente questo insieme viene definito un campo. L'insieme dei razionali è una insieme di classi, che vuol dire? Che i suoi elementi sono scatole in cui ci si mettono divisioni con lo stesso risultato. Ad esempio, se abbiamo il numero razionale 7/5 ed il numero razionale 21/15, essi sembrano diversi ma alla fine, semplificando la seconda si ottiene la prima. Quindi ecco che si formano delle scatole chiamate classi. Cioè scatole in cui fuori vi è l'etichetta di una divisione non più eseguibile. Come nel primo esempio, il numero 21/15 ancora può essere semplificato, ma non ulteriormente. Dunque sulla scatola "7/5", vi è l'etichetta di quelle infinite frazioni che semplificate danno come risultato finale 7/5. "Ok" si potrebbe dire, "allora abbiamo finito". Non è così. Il problema con i numeri razionali è generato da un ulteriore operazione, che esula dalle quattro operazioni canoniche: la radice quadrata.
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