» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Curva di uguale durata (moto di proiettili)

In linea di massima, questo esercizio illustra il funzionamento di una cosiddetta spoletta.

N proiettili vengono sparati simultaneamente dallo stesso punto, con la stessa velocità iniziale ma con angolo di lancio variabile. Si determini l'equazione della "curva di ugual durata", intesa come luogo geometrico di proiettili (puntiformi) in un assegnato istante T.

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[¯|¯] Il problema della cerbottana

Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).

Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v₀ e r_0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r_0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova:

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