[¯|¯] Un Modello epidemiologico basato su un'equazione differenziale stocastica

lunedì, Marzo 2nd, 2020

coranavirus,modelli epidemiologici,equazioni differenziali stocastiche — **Fig. 1**

Modifichiamo l'equazione differenziale precedente nel modo che segue

Ricordiamo che g(t) rappresenta l'azione farmacologica. Per quanto riguarda l'altra funzione, assumiamo

Ne consegue che

rappresenta l'assenza di azioni farmacologiche. Tale configurazione restituisce la classica crescita esponenziale:

essendo N₀ la popolazione inizialmente infettata. Viceversa

restituisce un decadimento esponenziale, per cui la pandemia si annulla in tempi relativamente brevi. Uno scenario più realistico è implementato da un'azione farmacologica "rumorosa". Nello specifico, possiamo considerare un Brown Noise i.e. un White Noise filtrato, con un andamento del tipo di quello riportato in fig.

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[¯|¯] Modelli epidemiologici e mappa logistica

lunedì, Marzo 2nd, 2020

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I sistemi dinamici del tipo mappa logistica che descrivono l'evoluzione di una popolazione di individui (insetti, batteri, virus), sono sistemi autonomi.

Più precisamente, se N(t) è la popolazione a un istante generico t, si ha che in questi modelli, tale funzione è una soluzione del seguente problema di Cauchy

dove f(N) è un'assegnata funzione lipschitziana.

Dalla teoria delle equazioni differenziali, sappiamo che una tale equazione è autonoma, nel senso che f non dipende esplicitamente dal tempo. Dal momento che la mappa logistica deriva da un caso particolare del problema scritto più sopra, i predetti sistemi sono autonomi. Ciò consente di passare alla corrispondente equazione alle differenze finite, che va risolta ricorsivamente in modo da riprodurre le ben note proprietà di tali sistemi attraverso la ricerca di fixed points(e quindi, attrattori, ergodicità, caoticità, etc.).
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