[¯|¯] Omomorfismi ed endomorfismi non singolari. Il caso delle rotazioni nello spazio euclideo

venerdì, Dicembre 16th, 2016

endomorfismi,omomorfismi,singolari, rotazioni,matrice di rotazione


Siano E ed F due spazi vettoriali sullo stesso campo K.
Definzione
L'omomorfismo A è non singolare se kerA={0E}, essendo 0E il vettore nullo di E.

In altri termini, A è non singolare se
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dove 0F il vettore nullo di F. Per un noto teorema un omomorfismo suriettivo è un isomorfismo se e solo se è iniettivo, e ciò a sua volta implica kerA={0E}, i.e. la non singolarità di A. Ne concludiamo che la non singolarità è una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché E ed F siano isomorfi.


Esercizio
Sia R(Oxyz) un riferimento cartesiano ortogonale dello spazio euclideo R³. La rotazione di un qualunque vettore &csi;=(x,y,z)di R³ attorno all'asse z, è il risultato dell'applicazione di un endomorfismo Rz:

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essendo θ l'angolo di rotazione, contato positivamente se la rotazione vista da un osservatore disposto lungo la direzione positiva dell'asse z, è antioraria.
Mostrare che tale endomorfismo è non singolare.


Soluzione
L'immagine di Rz è:

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dove {ei} è la base canonica di R³:
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Quindi
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Da ciò segue che la matrice rappresentativa di Rz nella base canonica si scrive:
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