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[¯|¯] Omomorfismi ed endomorfismi non singolari. Il caso delle rotazioni nello spazio euclideo

venerdì, Dicembre 16th, 2016

Siano E ed F due spazi vettoriali sullo stesso campo K.
Definzione
L'omomorfismo A è non singolare se kerA={0_E}, essendo 0_E il vettore nullo di E.
In altri termini, A è non singolare se

dove 0_F il vettore nullo di F. Per un noto teorema un omomorfismo suriettivo è un isomorfismo se e solo se è iniettivo, e ciò a sua volta implica kerA={0_E}, i.e. la non singolarità di A. Ne concludiamo che la non singolarità è una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché E ed F siano isomorfi.

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Esercizio
Sia R(Oxyz) un riferimento cartesiano ortogonale dello spazio euclideo R³. La rotazione di un qualunque vettore &csi;=(x,y,z)di R³ attorno all'asse z, è il risultato dell'applicazione di un endomorfismo R_z:

essendo θ l'angolo di rotazione, contato positivamente se la rotazione vista da un osservatore disposto lungo la direzione positiva dell'asse z, è antioraria.
Mostrare che tale endomorfismo è non singolare.

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Soluzione
L'immagine di R_z è:

dove {e_i} è la base canonica di R³:

Quindi

Da ciò segue che la matrice rappresentativa di R_z nella base canonica si scrive:

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