[¯|¯] Sommabilità di e^-(x)*sin(x)

domenica, Febbraio 17th, 2019

sommabilità,integrabilità,rettangoloide generalizzato — **Fig. 1**

Esercizio
Studiare l'integrabilità della funzione di fig. 1

Soluzione

Osserviamo innanzitutto

Siccome

per il teorema dei carabinieri

Inoltre, sempre dalla doppia disuguaglianza appena vista, segue che il diagramma cartesiano della funzione

è contenuto nella regione del piano cartesiano

In parole semplici, la funzione oscilla sinusoidalmente tra le curve esponenziali e^(-x) ed -e^(-x), come illustrato in fig. 1. Inoltre, la funzione si annulla infinite volte e i suoi zeri sono:

per cui cambia infinite volte segno. Applicando questo procedimento, si ha:

Riesce

essendo R_{e^-x il rettangoloide generalizzato relativo a e^-x di base [0,+oo). Per una nota proprietà della misura segue

Da quest'esempio, si ha

Per la proprietà additiva della misura la precedente si riscrive

onde

da cui la sommabilità della funzione assegnata. A questo punto possiamo calcolare l'integrale con il solito procedimento di passaggio al limite:

che si calcola facilmente, ottenendo il risultato di fig. 1.

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[¯|¯] Funzioni integrabili e funzioni sommabili

venerdì, Febbraio 15th, 2019

funzioni integrabili,funzioni sommabili,integrabilità,sommabilità

Alcuni esempi numerici esaminati nei numeri precedenti, impongono le seguenti definizioni:

Definizione
Una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato) si dice integrabile , se comunque prendiamo una successione di domini {T_n} tali che

è univocamente determinato il limite:

che è l'integrale generalizzato di f esteso all'intervallo X, ossia

risultando

Nota. Nel caso particolare di una funzione non negativa, si ha ovviamente

Nel caso particolare

la funzione si dice sommabile.
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