[¯|¯] Introduzione all'insieme di Cantor

giovedì, Aprile 6th, 2017

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo — **Fig. 1**

L'insieme di Cantor è un oggetto tutt'altro che maneggevole, per cui procederemo per gradi. In questo post vedremo come "costruire manualmente" il suddetto insieme. Concettualmente è molto semplice: si tratta di un procedimento ricorsivo che parte dall'intervallo chiuso [0,1] e lo divide in tre "parti" uguali (quindi, ciascuna di ampiezza 1/3), dopodichè si rimuove l'intervallo centrale. Il procedimento viene ripetuto sugli intervallini estremi, e così via all'infinito. La difficoltà iniziale coniste nel "matematizzare" il procedimento. Ed è proprio questo lo scopo dell'articolo odierno.

Assegnato un intervallo chiuso [a,b] di R, qundi di ampiezza Δ=b-a eseguiamo una
decomposizione D([a,b]) di norma δ=Δ/3 attraverso l'insieme di punti equispaziati:

Cioè

come appare in figura:

Consideriamo l'intervallo centrale:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

il cui interno è l'aperto
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

e il complementare in [a,b] è:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

rappresentato di seguito:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

In altri termini, questo insieme è ottenuto rimuovendo da [a,b] l'intervallo centrale (x1,x2). Formalmente ciò può essere visto come il risultato dell'azione di una applicazione

schematizzata in figura:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Il procedimento appena visto può essere ripetuto sugli intervalli parziali
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

facendo cioè agire l'applicazione sui predetti intervalli. Ci proponiamo di determinare il risultato di un numero infinito di iterazioni del procedimento. A tale scopo focalizziamo la nostra attenzione sull'intervallo chiuso [0,1], anziché su un generico intervallo [a,b].
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