» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Limiti di alcune funzioni elementari (parte prima)

È facile mostrare che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Non ci resta quindi che studiare il comportamento di tali funzioni nei punti di accumulazione non appartenenti a tali insiemi.

Per la funzione potenza di esponente reale abbiamo:

Quindi:

etc. Per la funzione esponenziale

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[¯|¯] La funzione potenza di esponente reale

In questo post studiamo un'importante funzione elementare: la cosiddetta funzione potenza di esponente reale. Iniziamo il nostro studio considerando il caso speciale di esponente positivo. Tutto questo ci porterà fisiologicamente ad alcuni luoghi geometrici notevoli come la famosa parabola di Neile oltre alla generalizzazione del concetto di parabola (parabola di ordine m).

Definizione
Assegnato , dicesi funzione potenza di esponente reale, la funzione reale:. Cioè se:

Per determinare l'insieme di definizione di tale funzione consideriamo:

dove è l 'insieme dei numeri razionali. Prima di discutere i suddetti casi, assumiamo
. Nel caso 1, è irrazionale per cui la potenza ha significato solo per x non negativo. Quindi nel caso 1 l'insieme di definizione è X = [0,+oo).
Nel caso 2:

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