[¯|¯] La funzione xi di Riemann e gli spin networks di Penrose

mercoledì, Agosto 28th, 2019

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Riprendiamo lo sviluppo di Taylor della funzione ξ(z) di Riemann, ma questa volta di punto iniziale z=1/2 anzichè z=0. Le ragioni di questa modifica sono da ricercarsi nel fatto che è già noto l'ultimo sviluppo, come possiamo leggere da quest'articolo. Nella nostra notazione abbiamo:

In particolare abbiamo uno sviluppo con termini pari, a causa della simmetria della ξ(z) rispetto alla retta per il punto del piano complesso z=1/2 e parallela all'asse immaginario. Osserviamo che il predetto sviluppo venne elaborato da Riemann, il quale fornì per i coefficienti la seguente espressione:

essendo θ(t) la funzione theta di Jacobi:

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[¯|¯] Sviluppo di Taylor della funzione xi di Riemann

martedì, Agosto 27th, 2019

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Il risultato precedente

è banale giacché per un noto teorema, ogni trascendente intera ammette uno sviluppo di Taylor con raggio di convergenza infinito. Viceversa, la somma di una qualunque serie di Taylor con raggio di convergenza infinito, è una trascendente intera. Nell'equazione appena scritta riconosciamo a primo membro lo sviluppo di Taylor di punto iniziale z=0 e di raggio di convergenza