È facile mostrare che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Non ci resta quindi che studiare il comportamento di tali funzioni nei punti di accumulazione non appartenenti a tali insiemi.
Oggi introduciamo un'importante funzione elementare: la funzione logaritmo. Nello studio della funzione esponenziale abbiamo:
per cui l'equazione:
è compatibile e determinata, i.e. ammette una ed una sola soluzione.
Definizione Per y>0 l'unica soluzione della suddetta equazione dicesi logaritmo di y in base a, e si indica con il simbolo:
Cioè:
Risolvere l'equazione assegnata equivale a determinare la funzione inversa di
Per quanto visto nella precedente, è strettamente monotona, per cui è invertibile:
onde:
Per la conservazione della monotonia della funzione inversa si ha che per a >1 la funzione è strettamente crescente. Per 0<a<1 è strettamente decrescente. In entrambi i casi il codominio è (-oo,+oo).
Studiamo il segno della . Iniziamo con l'osservare che . Infatti: