Limiti di alcune funzioni elementari (parte prima)

lunedì, Febbraio 22nd, 2016

funzioni elementari,limiti,funzione esponenziale,funzione logaritmo,funzioni iperboliche

È facile mostrare che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Non ci resta quindi che studiare il comportamento di tali funzioni nei punti di accumulazione non appartenenti a tali insiemi.

Per la funzione potenza di esponente reale abbiamo:

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Quindi:

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etc. Per la funzione esponenziale

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[¯|¯] La funzione logaritmo

mercoledì, Dicembre 3rd, 2014

funzione logaritmo di base a,grafico

Oggi introduciamo un'importante funzione elementare: la funzione logaritmo. Nello studio della funzione esponenziale abbiamo:


per cui l'equazione:
equazione esponenziale

è compatibile e determinata, i.e. ammette una ed una sola soluzione.

Definizione
Per y>0 l'unica soluzione della suddetta equazione dicesi logaritmo di y in base a, e si indica con il simbolo:

logaritmo in base a

Cioè:

logaritmo in base a

Risolvere l'equazione assegnata equivale a determinare la funzione inversa di
Per quanto visto nella precedente, è strettamente monotona, per cui è invertibile:

funzione inversa dell'esponenziale

onde:

funzione inversa dell'esponenziale

Per la conservazione della monotonia della funzione inversa si ha che per a >1 la funzione è strettamente crescente. Per 0<a<1 è strettamente decrescente. In entrambi i casi il codominio è (-oo,+oo).
Studiamo il segno della . Iniziamo con l'osservare che . Infatti:
logaritmo di 1

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