[¯|¯] Tensori controvarianti (seconda parte)

lunedì, Giugno 5th, 2017

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

Nel post precedente abbiamo definito i tensori controvarianti di rango 2 quali elementi dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E_n e F_m sul medesimo campo K. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice T^ik siano le componenti del tensore T in una base del predetto spazio.
Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e a meno di un isomorfismo naturale, si riconducono ad elementi appartenenti a E_n e F_n rispettivamente. In ogni caso abbiamo:

ove σⁱ sono le componenti di σ in una base assegnata di E_n^**. Denotando con {η_i} tale base, si ha:
tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

D'altra parte, σⁱ sono anche gli elementi di matrice della forma lineare s nella base duale {θⁱ} associata a {e_i}, per cui
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[¯|¯] Tensori controvarianti

domenica, Giugno 4th, 2017

Siano E_n e F_m due spazi vettoriali sul medesimo campo K. Denotando con E_n^* e F_m^* i rispettivi spazi duali, consideriamo un'applicazione bilineare: