[¯|¯] La lamina di Riemann

martedì, Luglio 28th, 2015

Nei post precedenti abbiamo visto che se "mappiamo" la parte reale e la parte immaginaria della zeta di Riemann su una qualunque curva regolare del piano complesso, otteniamo due funzioni che definiscono le equazioni orarie di un oscillatore bidimensionale con frequenze variabili (quindi, anisotropo). Avevamo poi scritto:

la funzione zeta di Riemann ingloba un numero infinito non numerabile di oscillatori armonici 2-dimensionali, ciascuno per ogni curva regolare del piano complesso su cui vengono mappate la parte reale e la parte immaginaria della zeta. Inoltre, esiste ed è unico l'oscillatore che passa infinite volte per l'origine. Tale oscillatore corrisponde alla linea critica..

Ciò suggerisce che la zeta di Riemann sia in qualche modo correlata a un sistema di infiniti oscillatori armonici 2-dimensionali. Se immaginiamo di poter sopprimere una dimensione, ci viene in mente la schematizzazione di una sbarra longitudinale elastica attraverso un sistema di N oscillatori armonici 1-dimensionali. Come è noto, se l è la lunghezza della sbarra, k la costante elastica di singolo oscillatore, l'equazione del moto dell'i-esimo oscillatore si ottiene facilmente applicando il formalismo lagrangiano:

In questa formula, epsilon è la lunghezza a riposo della singola molla. L'approssimazione diventa, per così dire, esatta se eseguiamo il limite per N->+oo.
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