[¯|¯] Autovelox portatile (ad ultrasuoni)

mercoledì, Luglio 18th, 2018

Un trasmettitore T emette ultrasuoni sotto forma di pacchetti d'onda piana longitudinale. Assumiamo come sistema di riferimento una terna di assi cartesiani con origine in T e asse x orientato verso un bersaglio B, che per ora consideriamo fermo rispetto al predetto sistema di riferimento, come illustrato nella seguente figura:

La funzione d'onda di singolo pacchetto può essere scritta come

dove k è il vettore di propagazione:

essendo λ la lunghezza d'onda e n il versore della direzione orientata di propagazione. Per come abbiamo scelto il sistema di riferimento:

onde

La grandezza ω(k) è, invece, la pulsazione in funzione del numero d'onde k=|k|. Come è noto dalla teoria della propagazione ondosa, tale funzione descrive il fenomeno della dispersione. Più specificatamente, se ω(k) è una costante o al più lineare in k, non c'è dispersione e il pacchetto conserva il profilo iniziale. Per semplicità consideriamo il caso particolare:

Cioè la dipendenza temporale della ψ(x,t) è un'oscillazione sinusoidale di durata τ. In particolare nel punto (0,0,0) i.e. nel punto di trasmissione:

Per una frequenza ν₀=21kHz
sonar,sommergibile,ultrasuoni

Per la durata di singolo impulso assumiamo τ=3.88×10^-3 s . L'andamento di f(t) è plottato in figura:

Calcolando la trasformata di Fourier della funzione f(t) otteniamo

Come è noto dall'Analisi di Fourier, tale funzione esprime la densità spettrale della f(t), ovvero definisce l'ampiezza delle componenti monocromatica di pulsazione compresa tra ω e ω+dω. In figura riportiamo la densità spettrale con i dati numerici visti sopra.

La "larghezza" della g(ω) è controllata dalla durata τ del segnale. Più precisamente, al crescere di τ, g(ω) diviene più piccata intorno a ω₀, per cui il contributo proveniente dalle componenti di Fourier con ω diverso da ω₀ diviene progressivamente più trascurabile. Viceversa, al diminuire progressivo di t vediamo che g(ω) tende ad "allargarsi". Ciò significa che le componenti di Fourier di pulsazione ω=ω₀ assumono un'ampiezza non trascurabile. In generale, la larghezza di g(ω) è l'ampiezza dell'intervallo