[¯|¯] Studio della funzione (esonero analisi matematica 1)

giovedì, Settembre 11th, 2014

Di seguito un esempio di studio della funzione.

Studiare la funzione

\begin{equation}
f\left(x\right) =\arcsin\frac{e^{x}}{3-e^{x}}+\ln\left(\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +\frac{3}{5}x \label{eq: 735}
\end{equation}

***

Soluzione

Insieme di definizione

La funzione è definita in $X$ tale che

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left\vert \frac{e^{x}}{3-e^{x}}\right\vert \leq1\\
\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0
\end{array}
\right. \label{eq: 735diseq}%
\end{equation}

Iniziamo a risolvere la prima delle (\ref{eq: 735diseq}), che è equivalente al sistema:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\leq1\\
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\geq-1
\end{array}
\right. \label{735diseq1}%
\end{equation}

La prima delle (\ref{735diseq1}):

$\frac{2e^{x}-3}{3-e^{x}}\leq0\Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right] \cup\left( \ln3,+\infty\right)$

La seconda delle (\ref{735diseq1})

$\frac{3}{3-e^{x}}\geq0\Longleftrightarrow e^{x}-3<0\Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln3\right)$

Quindi la la prima delle (\ref{eq: 735diseq}) è verificata per:

\begin{equation}
x\in X_{1}=x\in\left( -\infty,\ln3\right) \cup\left( \ln3,+\infty\right)
\label{eq: 735X1}%
\end{equation}

Passiamo alla seconda delle (\ref{eq: 735diseq}):

$\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0$

Il segno del numeratore:

\begin{align*}
3+\sqrt{9-6e^{x}} & >0\Longleftrightarrow\sqrt{9-6e^{x}}%
>-3\Longleftrightarrow9-6e^{x}\geq0\\
& \Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]
\end{align*}

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[¯|¯] Studio della funzione

mercoledì, Settembre 3rd, 2014

Raccogliendo alcuni vecchi post sullo studio della funzione abbiamo completato un ebook liberamente scaricabile (vedi link al termine del post).

Ricordiamo sommariamente l'algoritmo risolutivo per lo studio del diagramma cartesiano o grafico di una funzione reale di una variabile reale. Sia $f$ una funzione reale definita in $X\subseteq \mathbb{R}$ , cioè $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ . Qui $X$ è l'insieme di definizione (denominato anche campo di esistenza o dominio) della funzione.