[¯|¯] Applicazione inversa

lunedì, Giugno 11th, 2018

Comunque prendiamo un'applicazione bi-iettiva f:S->S', è univocamente determinata l'applicazione che associa all'elemento x' di S', l'elemento x di S tale che f(x)=x'. Infatti, l'iniettività implica l'unicità dell'elemento x:

Definizione
Chiamiamo applicazione inversa la predetta applicazione, denotandola con f^-1 e scrivendo:

applicazioni tra insiemi, applicazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo una biezione f:S'->S, si ha

Dimostrazione

onde

In maniera analoga si dimostra l'altra relazione.

Proposizione
Ipotesi: Per un'assegnata applicazione f:S->S', esiste un'applicazione g:S'->S tale che

Tesi:

f è una biezione

g=f^-1

Dimostrazione
Iniziamo con il dimostrare che f è bi-iettiva i.e. è suriettiva e iniettiva. Sia

Segue

In virtù dell'arbitrarietà di x' quale elemento di S', si ha

onde la suriettività di f.
Per dimostrare l'iniettività prendiamo

per cui

Cioè f è iniettiva. Per dimostrare il punto 2, consideriamo

Per la proprietà associativa

da cui l'asserto.

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[¯|¯] Applicazioni suriettive, iniettive, bi-iettive

venerdì, Giugno 8th, 2018

applicazioni tra insiemi,applicazioni suriettive,applicazioni iniettive,applicazioni bi-iettive

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice suriettiva (o surgettiva o che è una surgezione) se f(S)=S', cioè se ogni elemento x' di S' proviene, attraverso f, da un elemento x di S.
Questi esempi mostrano applicazioni surgettive.

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice iniettiva se

cioè se la controimmagine di ogni elemento di f(S) è costituita da un solo elemento. Ne consegue che se f è iniettiva, ogni elemento di x di f(S) proviene da un solo elemento x di S. Posto

si ha

Esempio
Denotiamo con N l'insieme degli interi naturali. Sia data l'applicazione che a ogni intero n associa il doppio 2n:

Segue

cioè l'immagine di N mediante f è l'insieme dei numeri pari:

Determiniamo la controimmagine:

onde

Ne concludiamo che f è iniettiva.

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice bi-iettiva o che è una bi-iezione se è suriettiva e iniettiva.

Applicazione identica e applicazione costante

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S non vuoto, dicesi applicazione identica, l'applicazione:

cioè l'applicazione che associa a ogni elemento x di S, l'elemento medesimo.

Riesce
applicazioni tra insiemi,applicazioni suriettive,applicazioni iniettive,applicazioni bi-iettive

da cui la bi-iettività di e_S.
Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice costante se

cioè se ogni elemento x di S muta mediante f, in un elemento fisso di f(S).

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