[¯|¯] Introduzione all'insieme di Cantor

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[¯|¯] Introduzione all'insieme di Cantor

giovedì, Aprile 6th, 2017

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo — **Fig. 1**

L'insieme di Cantor è un oggetto tutt'altro che maneggevole, per cui procederemo per gradi. In questo post vedremo come "costruire manualmente" il suddetto insieme. Concettualmente è molto semplice: si tratta di un procedimento ricorsivo che parte dall'intervallo chiuso [0,1] e lo divide in tre "parti" uguali (quindi, ciascuna di ampiezza 1/3), dopodichè si rimuove l'intervallo centrale. Il procedimento viene ripetuto sugli intervallini estremi, e così via all'infinito. La difficoltà iniziale coniste nel "matematizzare" il procedimento. Ed è proprio questo lo scopo dell'articolo odierno.

Assegnato un intervallo chiuso [a,b] di R, qundi di ampiezza Δ=b-a eseguiamo una
decomposizione D([a,b]) di norma δ=Δ/3 attraverso l'insieme di punti equispaziati:

Cioè

come appare in figura:

Consideriamo l'intervallo centrale:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

il cui interno è l'aperto
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

e il complementare in [a,b] è:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

rappresentato di seguito:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

In altri termini, questo insieme è ottenuto rimuovendo da [a,b] l'intervallo centrale (x1,x2). Formalmente ciò può essere visto come il risultato dell'azione di una applicazione

schematizzata in figura:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Il procedimento appena visto può essere ripetuto sugli intervalli parziali
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

facendo cioè agire l'applicazione sui predetti intervalli. Ci proponiamo di determinare il risultato di un numero infinito di iterazioni del procedimento. A tale scopo focalizziamo la nostra attenzione sull'intervallo chiuso [0,1], anziché su un generico intervallo [a,b].
(altro…)

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[¯|¯] Dimensione di una varietà topologica connessa

martedì, Aprile 4th, 2017

topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,interpretazione a più mondi, meccanica quantistica

Nella MWI in seguito all'operazione di misura di una osservabile quantistica, l'universo si riproduce in N copie, ove N è la cardinalità dello spettro degli autovalori dell'osservabile medesima. Detto in altro modo, in MWI l'operazione di misura restituisce un multiverso. Tale ente è, a nostro avviso, topologicamente schematizzabile attraverso una varietà topologica sconnessa (i.e. non è possibile trovare almeno una coppia di aperti disgiunti in grado di eseguire un ricoprimento della varietà). In questo modello i singoli aperti (>=2) rappresentano i singoli universi che appaiono in tal modo topologicamente disgiunti. Congetturiamo, poi, che i singoli aperti siano topologicamente connessi, onde per un teorema che dimostreremo in quest'articolo, la dimensione dei predetti aperti (quindi dei singoli universi) è un invariante topologico, ovvero costante in ogni universo. Ciò potrebbe essere una conseguenza del Principio Antropico che esige uno spazio connesso (nel caso contrario non potremmo spostarci da un punto all'altro). Al contrario, dal momento che il multiverso è una varietà topologica sconnessa, potrebbe non avere dimensione costante.

***

Se M=(S,Θ) è una varietà topologica deve aversi

dove n_p è la dimensione di M nel punto p. In tal modo la dimensione di M risulta essere un'applicazione da M a N:
topologia,spazio connesso,spazio sconnesso,interpretazione a più mondi, meccanica quantistica

Proposizione
Condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché n_p sia un invariante topologico i.e. sia indipendente da p, è che M sia uno spazio topologico connesso.
Dimostrazione