» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Spazio delle configurazioni di un sistema lineare

sabato, Giugno 16th, 2018

Applichiamo le nozioni precedenti ai sistemi autonomi lineari (del primo ordine), rammentando che

e

0=0) e non omogeneo (ß₀=/0). Per quanto visto in precedenza l'integrale generale per ß₀=0 è

Dopo aver posto t₀=0, consideriamo la condizione iniziale

onde

da cui l'integrale particolare che verifica il predetto problema di Cauchy:

Introduciamo la grandezza

avente le dimensioni di un tempo e che si chiama costante di tempo del sistema. Ne consegue:

Abbiamo, dunque, una crescita esponenziale per α₀>0 e una decrescita esponenziale per α₀<0. In fig. eq:traiettoria_p1 riportiamo il grafico di ξ(t) per α₀>0 e per differenti valori della costante di tempo.

La regione dello spazio delle configurazioni accessibile per il sistema autonomo lineare ed omogeneo assegnato, è

come illustrato nelle figg. seguenti

In entrambi i casi il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale ((x₀,α₀x0)). In simboli:

dove

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[¯|¯] Sistemi autonomi di ordine n. Lo spazio delle configurazioni

martedì, Giugno 12th, 2018

La definizione di sistema autonomo si generalizza nel modo seguente:

Definizione
Dicesi sistema autonomo di ordine n, l'equazione differenziale

con f:D->R, essendo D un dominio di Rⁿ.

Osservazione
Per ovvi motivi quando n>2, utilizziamo la notazione apicale per le derivate, avendosi:

Il problema di Cauchy si formula nel seguente modo:

mentre il teorema di Cauchy-Lipschitz:

Teorema
Ipotesi: f è lipschitziana.
Tesi:

Definizione
Dicesi spazio delle configurazioni del di un sistema autonomo di ordine n l'insieme dei punti

ovvero lo spazio euclideo n+1-dimensionale.

Nel caso n=1 lo spazio delle fasi è:

Definizione
La regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema autonomo

è il diagramma cartesiano della funzione f:

Nel caso particolare di un sistema dinamico autonomo deterministico, la regione accessible è una curva regolare. Per un sistema lineare

la regione accessibile è

Se X=(-oo,+oo) la regione Γ(f) è la retta di equazione

Se X è un intervallo strettamente contenuto in R, Γ(f) è un segmento della predetta retta. È istruttivo esaminare gli ordini superiori al primo. Ad esempio, per un sistema autonomo del secondo ordine:

con f:D->R, dove D è un dominio di R². Lo spazio delle configurazioni del sistema è

cioè lo spazio euclideo 3-dim. sui cui assi coordinati riportiamo le grandezze x,x,x. La regione dello spazio delle fasi accessibile al sistema è il diagramma cartesiano della funzione f. Se f verifica le ipotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz e D è un dominio internamente connesso, segue che Γ(f) è una superficie regolare.

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