» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il substrato neuronico del paradosso di Epimenide

Il seguente brano è liberamente tratto (e modificato) da Gödel, Escher, Bach. Un'eterna ghirlanda brillante.

Vorrei concludere questo Capitolo con alcune idee su quel problema centrale della verità che è il paradosso di Epimenide, la cui riproduzione all'interno dell'AT ("Aritmetica Tipografica") fatta da Tarski potrebbe indicare la via per una comprensione più profonda del predetto paradosso. Ciò che Tarski ha trovato è che la sua versione del paradosso ha due livelli distinti. A un livello, è un enunciato su sé stesso che sarebbe vero se fosse falso e falso se fosse vero. All'altro livello, che mi piace chiamare il substrato aritmetico, è un enunciato sugli interi che è vero se e solo se è falso.

Ora, per qualche ragione, quest'ultimo aspetto è molto più preoccupante del primo. Taluni semplicemente accantona il primo come "privo di senso" a cusa della sua autoreferenzialità. Ma non si possono accantonare enunciati paradossali sugli interi. Gli enunciati sugli interi non possono essere veri e falsi allo stesso tempo.

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[¯|¯] Il gioco MU è impossibile

In precedenza avevamo visto il gioco MU. Vediamo ora la soluzione proposta da Hofstadter nel suo libro, precisando sin da ora che il gioco è impossibile (cioè non è possibile produrre la stringa MU a partire dalla stringa MI e applicando le regole).
Ricapitoliamo:

Simboli: M, I, U

Assioma: MI

Regole

1. Se xI è un teorema, allora lo è anche xIU

.

2. Se Mx è un teorema, allora lo è anche Mxx

.

3. In un qualunque teorema si può sostituire III con U
4. Si può cancellare UU da qualsiasi teorema

Definizione
Chiamiamo I-somma il numero di I in una stringa assegnata
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