» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Campo elettrico radiale in coordinate cilindriche

mercoledì, Dicembre 21st, 2022

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Teorema

In coordinate cilindriche, il lavoro svolto per spostare una carica puntiforme in un campo elettrico puramente radiale con legge:

da un punto di coordinata radiale r a un punto di coordinata radiale ar, è indipendente da r, essendo a > 0 un arbitrario fattore di scala.

Dim.

Deve essere

L'operatore nabla in coordinate cilindriche si scrive:

Nel caso in esame non c'è dipendenza dalle coordinate φ,z per cui

E quindi l'energia potenziale

Il lavoro svolto per spostare la carica da P(r,φ,z) a P(ar,φ',z')

onde l'asserto.

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Come calcolare il gradiente in coordinate sferiche

mercoledì, Dicembre 21st, 2022

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Esercizio
((Testo tratto da "Elettromagnetismo" della collana Schaum. La soluzione è nostra))
Trovare il lavoro che si compie spostando una carica puntiforme q=5·10^-6 C dall'origine a P(2,(π/4),(π/2)),coordinate sferiche nel campo elettrico:

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Soluzione

Facciamo riferimento alla fig. 1. Sfruttiamo il carattere conservativo del campo i.e.

La difficoltà risiede nel fatto che siamo in coordinate sferiche e non in coordinate cartesiane. Allora rammentiamo l'espressione dell'operatore nabla in coordinate sferiche:

Segue

che conduce al sistema

Dalla prima, per integrazione diretta:

Deriviamo rispetto a φ

e tenendo conto della terza equazione del sistema, si ha

Deve essere

Il lavoro svolto per spostare la carica dall'origine a P è indipendente dal percorso ed è pari a

dove W=qV è l'energia potenziale, per cui

essendo V_OP la differenza di potenziale tra i predetti punti:

Finalmente

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