» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] La curva di rotazione delle galassie. La materia oscura

martedì, Agosto 1st, 2017

L'informazione sulla distribuzione delle velocità delle stelle e del gas che compongono una galassia è contenuta nella cosiddetta curva di rotazione. Vediamo di cosa si tratta.

Consideriamo una galassia in cui la distribuzione della materia esibisce una simmetria sferica. I risultati a cui giungeremo si generalizzano immediatamente alla simmetria ellisoidale. Ciò premesso, supponiamo di avere una particella di prova che simula il moto di una stella appartenente alla galassia. Per la terza legge di Keplero, se r è la coordinata radiale della particella, la sua velocità è:

essendo G la costante di gravitazione universale, mentre M(r) è la massa contenuta nella sfera di raggio r. Se R_g è il raggio della galassia, M=M(R_g) è la massa totale. Dalla formula precedentes si ha:

In altri termini, al di fuori della galassia, la velocità segue va come 1/sqrt(r). Per contro, i dati osservativi forniscono una legge diversa.
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[¯|¯] Distribuzione frattale delle galassie. La funzione di correlazione a due punti

martedì, Agosto 1st, 2017

I dati osservativi ci dicono che per scale che vanno dalla decina dei Kpc ai 100 Mpc, l'Universo è disomogeneo ed anisotropo, nel senso che troviamo strutture del tipo galassie, ammassi di galassie e superammassi.

Al di sopra dei 100 Mpc, ritroviamo omogeneità ed isotropia, in accordo con il Principio Cosmologico. In questa framework, la materia si distribuisce in una gerarchia di "clustering" e si parla perciò di universo gerarchico.

Se n è la densità del numero di galassie, possiamo scrivere:

essendo dP la probabilità infinitesima di trovare una galassia nel volume elementare dV. Se la distribuzione è casuale, la probabiltà congiunta di trovare la galassia 1 nel volume infinitesimo dV₁ e la galassia 2 nel volume dV₂, è:

In tal caso le posizioni delle singole galassie sono scorrelate. Se invece le galassie tendono a formare strutture o a lasciare dei vuoti, l'equazione precedente va corretta in questo modo:

essendo dP_* l'eccesso o il difetto di probabilità, che può essere reso parametrico, ponendo:

dove r₁₂ è la coordinata relativa dei due elementi di volume, mentre la grandezza adimensionale ξ_g(r) ci dà un'informazione di quanto la distribuzione si alllontana da quella casuale. Chiamiamo ξ_g(r₁₂) funzione di correlazione spaziale a due punti o semplicemente funzione di correlazione a due punti. Quindi, nel caso di una distribuzione non casuale, l'espressione della probabilità congiunta è:

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