[¯|¯] Valor medio e valore efficace di una funzione

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[¯|¯] Valor medio e valore efficace di una funzione

sabato, Marzo 4th, 2017

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Generalizziamo le nozioni esposte nel post precedente.

Assegnato l'intervallo [a,b] quale sottoinsieme di R, poniamo

Come è noto, C([a,b]) assume la struttura di spazio vettoriale su R, introducendo le usuali leggi di composizione:

e relativi assiomi. Tale spazio vettoriale può essere strutturato come spazio euclideo introducendo la forma bilineare:

che verifica gli assiomi di prodotto interno (o prodotto scalare). È facile persuadersi che tali assiomi sono automaticamente verificati dalla seguente forma:

D'altra parte tale definizione è ben posta, giacché la continuità delle funzioni f e g garantisce l'esistenza dell'integrale definito che compare a secondo membro. Si osservi che tale forma definisce il prodotto scalare standard, in quanto è la naturale generalizzazione al continuno del prodotto scalare standard di uno spazio euclideo n-dimensionale

poiché la variabile discreta k viene rimpiazzata dalla variabile continua x. L'introduzione del prodotto scalare ci permette di definire ortogonalità e lunghezza (norma) degli elementi di C([a,b]):

Come è ben noto dall'analisi funzionale, per definire una metrica (i.e. funzione distanza) non è necessario introdurre un prodotto scalare. È però sufficiente; infatti è facile convincersi che la grandezza

verifica gli assiomi della funzione distanza. Per inciso, ancora una volta siamo in presenza di una generalizzazione al continuo. Infatti, in uno spazio euclideo n-dimensionale, la distanza tra due punti la cui posizione è definita dai vettori:

che ammette l'ovvia generalizzazione al continuo:
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Ciò premesso, la disuguaglianza di Schwartz lega il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori alle rispettive norme. Sussiste infatti il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)
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In particolare

La seconda parte del teorema è interessante, nel senso che vale l'uguaglianza solo se uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure nel caso di parallelismo di f e g. Consideriamo ora la media integrale di f in [a,b]:

che chiamiamo semplicemente valore medio di f. Per il teorema della media:

Definizione 1
Chiamiamo valore efficace di f in [a,b] il numero reale non negativo

Da tale definizione si ha la seguente relazione

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[¯|¯] Valor medio e valore efficace di una grandezza periodica

venerdì, Marzo 3rd, 2017

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Assegnata una grandezza fisica y(t) periodica di periodo T, sussistono le seguenti definizioni:
Definizione 1
Il valor medio di y(t) è

Definizione 2
Il valore efficace di y(t) è:

Ciò premesso, ci proponiamo di risolvere il:
Problema

Il predetto problema, consiste nel ricercare tutte e sole le funzioni y(t) tali che
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o ciò che è lo stesso:

Da tale equazione vediamo che la funzione identicamente nulla risolve il problema posto, come anche una qualunque funzione costante. Per determinare eventuali altre soluzioni, impostiamo il problema nel formalismo dell'analisi funzionale. Precisamente, riferiamoci allo spazio vettoriale delle funzioni continue (e reali) in un intervallo [a,b] quale sottoinsieme di R: