» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà e teoremi. La relazione identica

martedì, Giugno 26th, 2018

In questo numero dimostriamo alcune proposizioni sulle relazioni in un insieme.
Proposizione

Dimostrazione

Preso ad arbitrio x in S:

Segue

onde l'asserto.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione identica in S, la relazione:

cioè la relazione che associa a ogni elemento x di S, l'insieme il cui unico elemento è x medesimo.









Proposizione

Dimostrazione

Segue

onde l'asserto.

Proposizione

Dimostrazione

Implicazione inversa

Implicazione diretta

Cioè

onde l'asserto.

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[¯|¯] Esempio di relazione tra segmenti di un piano dello spazio ordinario

lunedì, Giugno 25th, 2018

Definizione
Due segmenti a e b si dicono uguali e si scrive a=b, se nello spazio ordinario esiste un movimento M che porta a sovrapporre uno dei due all'altro

Ciò premesso, consideriamo la relazione

dove ρ(a) è l'insieme dei segmenti uguali ad a, nel senso della definizione precedente. Cioè









Tale relazione verifica le seguenti proprietà:

1. Proprietà riflessiva
   
2. Proprietà simmetrica
   
3. Proprietà transitiva
   

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