» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Forma algebrica dei numeri complessi

giovedì, Maggio 24th, 2018

Sia (x,y) un numero complesso preso ad arbitrio. Dalla definizione di addizione di numeri complessi e di moltiplicazione di numeri complessi, si trae la seguente identità:

Ne consegue che un qualunque numero complesso si esprime in uno ed un solo modo, come somma di un numero complesso del tipo (x,0) e di un numero complesso del tipo (0,y). Ciò suggerisce di definire i seguenti sottoinsiemi di C:

È facile persuadersi che la struttura algebrica di campo viene trasferita a R'. Innanzitutto osserviamo che R' è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione di elementi di R':

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[¯|¯] Il campo dei numeri complessi

mercoledì, Maggio 23rd, 2018

Per quanto visto in una lezione precedente, i numeri complessi sono stati introdotti per poter dare significato alla radice quadrata di un numero negativo. Più in generale, la seguente equazione algebrica di grado n:

è priva di soluzioni reali se n è pari. Ci si pone, quindi, il problema di estendere il campo reale R in modo che la predetta equazione abbia soluzioni per qualunque n. A tale scopo focalizziamo la nostra attenzione su R², rammentando velocemente quest'ultimo è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali o ciò che è lo stesso, il prodotto cartesiano

ove i singoli elementi sono le coppie ordinate di numeri reali. Con tale denominazione intendiamo:

In altri termini, la coppia ordinata (x,y) è distinta dalla coppia (y,x) a meno che non sia x=y. Quindi:

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