[¯|¯] Studio della funzione (esonero analisi matematica 1)

Settembre 11th, 2014 | by extrabyte |

Di seguito un esempio di studio della funzione.

Studiare la funzione

\begin{equation}
f\left(x\right) =\arcsin\frac{e^{x}}{3-e^{x}}+\ln\left(\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +\frac{3}{5}x \label{eq: 735}
\end{equation}

***

Soluzione

Insieme di definizione

La funzione è definita in $X$ tale che

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left\vert \frac{e^{x}}{3-e^{x}}\right\vert \leq1\\
\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0
\end{array}
\right. \label{eq: 735diseq}%
\end{equation}

Iniziamo a risolvere la prima delle (\ref{eq: 735diseq}), che è equivalente al sistema:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\leq1\\
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\geq-1
\end{array}
\right. \label{735diseq1}%
\end{equation}

La prima delle (\ref{735diseq1}):

$\frac{2e^{x}-3}{3-e^{x}}\leq0\Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right] \cup\left( \ln3,+\infty\right)$

La seconda delle (\ref{735diseq1})

$\frac{3}{3-e^{x}}\geq0\Longleftrightarrow e^{x}-3<0\Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln3\right)$

Quindi la la prima delle (\ref{eq: 735diseq}) è verificata per: \begin{equation} x\in X_{1}=x\in\left( -\infty,\ln3\right) \cup\left( \ln3,+\infty\right) \label{eq: 735X1}% \end{equation} Passiamo alla seconda delle (\ref{eq: 735diseq}):

$\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0$

Il segno del numeratore:

\begin{align*}
3+\sqrt{9-6e^{x}} & >0\Longleftrightarrow\sqrt{9-6e^{x}}%
>-3\Longleftrightarrow9-6e^{x}\geq0\\
& \Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]
\end{align*}

Il segno del denominatore

\begin{align*}
3-\sqrt{9-6e^{x}} & >0\Longleftrightarrow\sqrt{9-6e^{x}}<3\\ & \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{c}% 9-6e^{x}\geq0\\ e^{x}>0
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow9-6e^{x}\geq0\\
& \Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]
\end{align*}
Quindi

$\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0\Longleftrightarrow x\in X_{2}=\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]$

Questo risultato era prevedibile poichè per

$x\leq\ln\frac{3}{2}$ ègarantita la realtà di

$\sqrt{9-6e^{x}}$ ed essendo non negativa, implica che

$3+\sqrt{9-6e^{x}}$ . Inoltre per

$x\leq\ln\frac{3}{2}$ è

$\sqrt{9-6e^{x}}<3$ , per cui il denominatore è sempre maggiore di zero. L'insieme di definizione è

$X=X_{1}\cap X_{2}=\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]$

Intersezioni con gli assi

Tralasciamo l'intersezione con l'asse $x$ .

Inoltre:

$f\left( 0\right) =\frac{\pi}{6}+\ln\left( \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\right) \Longrightarrow A\left( 0,\frac{\pi}{6}+\ln\left( \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\right) \right) \in\gamma\cap y,$

essendo

$\gamma$ il grafico della funzione.

Comportamento agli estremi

Calcoliamo:
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{x}}{3-e^{x}} & =0\Longrightarrow
\lim_{x\rightarrow-\infty}\arcsin\frac{e^{x}}{3-e^{x}}=0\\
\lim_{x\rightarrow-\infty}\ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt
{9-6e^{x}}}\right) & =+\infty,
\end{align*}
quindi

$\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right) =\infty-\infty$

Per rimuovere la forma indeterminata scriviamo:

\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right) & =\lim_{x\rightarrow-\infty
}\left[ \ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right)
+\frac{3}{5}x\right] \\
& =\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ \ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +\ln e^{\frac{3}{5}x}\right] \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left( e^{\frac{3}{5}x}\cdot\frac
{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left( e^{\frac{3}{5}x}\cdot\frac
{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\cdot\frac{3-\sqrt{9-6e^{x}}}%
{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ e^{\frac{3}{5}x}\cdot\frac{\left(
3+\sqrt{9-6e^{x}}\right) ^{2}}{6e^{x}}\right] \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ \frac{1}{6}e^{-\frac{2}{3}x}%
\cdot\left( 3+\sqrt{9-6e^{x}}\right) ^{2}\right] \\
& =\ln\left[ \frac{1}{6}\cdot\left( +\infty\right) \cdot\left(
3+0\right) ^{2}\right] =+\infty,
\end{align*}

per cui la funzione diverge negativamente per $x\rightarrow-\infty$ .

Eventuali asintoti obliqui:

$m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=\frac{\infty}%{\infty}\overset{H}{=}\lim_{x\rightarrow-\infty}f^{\prime}\left( x\right)$

perciò calcoliamo la derivata prima.

Derivate

Poniamo:

\begin{equation}
f_{1}\left( x\right) =\arcsin\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\text{, }f_{2}\left(
x\right) =\ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right)
+\frac{3}{5}x
\end{equation}

cosicchè:

\begin{equation}
f^{\prime}\left( x\right) =f_{1}^{\prime}\left( x\right) +f_{2}^{\prime
}\left( x\right)
\end{equation}

Abbiamo:

\begin{align}
f_{1}^{\prime}\left( x\right) & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{e^{2x}}{\left(
3-e^{x}\right) ^{2}}}}\cdot\frac{e^{x}\left( 3-e^{x}\right) +e^{2x}%
}{\left( 3-e^{x}\right) ^{2}}\\
& =\frac{3e^{x}}{\left( 3-e^{x}\right) \sqrt{9-6e^{x}}}\nonumber
\end{align}

\begin{align}
f_{2}^{\prime}\left( x\right) & =\frac{3}{5}+\\
& +\frac{3-\sqrt{9-6e^{x}}}{3+\sqrt{9-6e^{x}}}\cdot\frac{\frac{-3e^{x}}%
{\sqrt{9-6e^{x}}}\cdot\left( 3-\sqrt{9-6e^{x}}\right) -\frac{3e^{x}}%
{\sqrt{9-6e^{x}}}\cdot\left( 3+\sqrt{9-6e^{x}}\right) }{\left(
3-\sqrt{9-6e^{x}}\right) ^{2}}\nonumber\\
& =\frac{3}{5}+\frac{\frac{-3e^{x}}{\sqrt{9-6e^{x}}}\left( 3-\sqrt{9-6e^{x}%
}+3\sqrt{9-6e^{x}}\right) }{6e^{x}}\nonumber\\
& =\frac{3}{5}-\frac{3}{\sqrt{9-6e^{x}}}\nonumber
\end{align}

Finalmente:

\begin{equation}
f^{\prime}\left( x\right) =\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{9-6e^{x}}}{3-e^{x}}
\label{eq: der735}%
\end{equation}

Passiamo alla derivata seconda:

\begin{align*}
f^{\prime\prime}\left( x\right) & =-\frac{d}{dx}\frac{\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-e^{x}}\\
& =-\frac{-e^{x}\left( 9-3e^{x}\right) +e^{x}\left( 9-6e^{x}\right)
}{\left( 3-e^{x}\right) ^{2}\sqrt{9-6e^{x}}}%
\end{align*}

Semplificando:

\begin{equation}
f^{\prime\prime}\left( x\right) =\frac{3e^{2x}}{\left( 3-e^{x}\right)
\sqrt{9-6e^{x}}} \label{eq: der2735}%
\end{equation}

Asintoti obliqui:

\begin{align*}
m & =\lim_{x\rightarrow-\infty}f^{\prime}\left( x\right) =\frac{3}%
{5}-\frac{\sqrt{9-0}}{3-0}=-\frac{2}{5}\\
n & =\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ f\left( x\right) -mx\right] \\
& =\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ \ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +x\right] =\infty-\infty\\
& =\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ \ln\left( \frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +\ln e^{x}\right] \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left( e^{x}\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}%
{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left( e^{x}\cdot\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\cdot\frac{3-\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[ e^{x}\cdot\frac{\left(
3+\sqrt{9-6e^{x}}\right) ^{2}}{6e^{x}}\right] \\
& =\ln\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left( 3+\sqrt{9-6e^{x}}\right) ^{2}%
}{6}=\ln\frac{\left( 3+3\right) ^{2}}{6}=\ln6
\end{align*}

Quindi il grafico è dotato di asintoto obliquo che è la retta di equazione:

$y=-\frac{2}{5}x+\ln6$

Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti

Zeri di $f^{\prime}$

\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =0\Longleftrightarrow\frac{\sqrt{9-6e^{x}}%
}{3-e^{x}}=\frac{3}{5}\\
& \Longleftrightarrow9e^{2x}+96e^{x}-144=0\\
& \Longleftrightarrow e^{x}=\frac{4}{3}\text{ \ (l'altra soluzione non
accettabile, in quanto }<0\text{)}\\ & \Longleftrightarrow x=\ln\frac{4}{3}% \end{align*} Segno: \begin{align*} \forall f^{\prime}\left( x\right) & >0\Longleftrightarrow\sqrt{9-6e^{x}%
}<\frac{3}{5}\left( 3-e^{x}\right) \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{c}% 3-e^{x}>0\\
9-6e^{x}\geq0\\
9-6e^{x}<\frac{9}{25}\left( 3-e^{x}\right) ^{2}% \end{array} \right. \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{c}% x<\ln3\\ x\in X\\ 9e^{2x}+96e^{x}-144>0
\end{array}
\right. \\
& \Longleftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x<\ln3\\ x\in X\\ x>\ln\frac{4}{3}%
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow x\in\left( \ln\frac{4}{3},\ln\frac{3}{2}\right)
,
\end{align*}

per cui la funzione è strettamente crescente in $\left( \ln\frac{4}{3},\ln\frac{3}{2}\right)$ ed è strettamente decrescente in $\left(-\infty,\ln\frac{4}{3}\right)$ . Il punto $x=\ln\frac{4}{3}$ è di minimo
relativo, anzi assoluto: