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La funzione parte intera dell'esponenziale, e campionamento logaritmico del tempo

Dicembre 10th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo la funzione parte intera dell'esponenziale di x assumendo il tempo t come variabile indipendente. Precisamente:

Definiamo la successione di elementi di R

Segue

Si presti attenzione all'intervallo semiaperto a destra. Infatti, se t varia con continuità in tale intervallo, la funzione conserva il valore n, ma in ln(n+1) assume il valore n+1, come illustrato in fig.

Ne segue

per cui t_n+1=ln(n+1) è un punto di discontinuità di prima specie con salto s=n.

Il diagramma della funzione f(t) è l'unione del segmento rappresentativo dell'intervallo illimitato (-oo,0) e degli infiniti segmenti di estremi P_n(ln(n),n),P_n+1(ln(n+1),n+1), come vediamo in fig.

La lunghezza del segmento n-esimo è

per cui abbiamo la successione di elementi di R

strettamente decrescente e non negativa, onde

Ciò implica una caratteristica topologicamente atipica di tale funzione, nel senso che tende a recuperare la continuità dell'esponenziale per t->+oo come mostra la sequenza di grafici riportati in fig. 1.

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