Parametrizzazione degli zeri della funzione zeta di Riemann

Luglio 13th, 2022 | by Marcello Colozzo |

che può essere estesa al campo complesso

Qui ovviamente abbiamo l'estensione olomorfa della funzione ζ(s) a partire dalla nota convergenza della serie di Dirichlet:

Se ρ=α+iß è un qualunque zero non banale

Rammentiamo che le singolarità polari della funzione gamma sono s=-n, con n intero naturale arbitrario. Segue

D'altra parte, l'integrale generalizzato

giacché la funzione zeta è meromorfa con una unica singolarità polare (sempice) in s=1. Ciò implica la convergenza sulla p redetta striscia degli integrali

per annullarsi contemporaneamente sugli zeri della funzione zeta. È di difficile dimostrazione la convergenza di tali integrali, a causa della singolarità nell'estremo inferiore di integrazione (il limite dell'integrando non esiste), mentre non crea problemi il comportamento all'infinito, giacché gli integrandi sono infinitesimi di ordine infinitamente grande. In fig. 1 riportiamo un'animazione grafica, cioè il diagramma cartesiano delle funzioni integrandi per β=20 ed α variabile da 0 a 1.

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