Parametrizzazione degli zeri della funzione zeta di Riemann

Luglio 13th, 2022 | by Marcello Colozzo |

ipotesi di riemann,zeri non banali


Dall'esercizio precedente


che può essere estesa al campo complesso

Qui ovviamente abbiamo l'estensione olomorfa della funzione ζ(s) a partire dalla nota convergenza della serie di Dirichlet:


Se ρ=α+iß è un qualunque zero non banale


Rammentiamo che le singolarità polari della funzione gamma sono s=-n, con n intero naturale arbitrario. Segue


D'altra parte, l'integrale generalizzato

giacché la funzione zeta è meromorfa con una unica singolarità polare (sempice) in s=1. Ciò implica la convergenza sulla p redetta striscia degli integrali

per annullarsi contemporaneamente sugli zeri della funzione zeta. È di difficile dimostrazione la convergenza di tali integrali, a causa della singolarità nell'estremo inferiore di integrazione (il limite dell'integrando non esiste), mentre non crea problemi il comportamento all'infinito, giacché gli integrandi sono infinitesimi di ordine infinitamente grande. In fig. 1 riportiamo un'animazione grafica, cioè il diagramma cartesiano delle funzioni integrandi per β=20 ed α variabile da 0 a 1.

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)
Articoli correlati

Commenta l'esercizio