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Potenziale periodico. Bande di energia

Aprile 9th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Risolviamo lo spettro dell'hamiltoniano di un sistema quantistico unidimensionale sottoposto a un potenziale periodico deltiforme:

Innanzitutto osserviamo che essendo infV(x)=0, lo spettro s(H) è puramente continuo ed è contenuto in (0,+8). Per il teorema di Bloch, le autofunzioni (improprie) dell'energia sono

dove v(x) è periodica di periodo a. Riesce, dunque

Posto ω=e^ika, si ha

per cui la u(x) è quasi periodica, nel senso che la funzione traslata u(x+a) differisce da u(x) per un numero complesso di modulo unitario. Suddividendo l'intervallo [0,2a] in I=[0,a] e II=[a,2a], si ha che in I l'equazione di Schrödinger stazionaria si scrive:

le cui soluzioni sono

con A,B costanti (complesse) di integrazione. Nella regione II sfruttiamo la proprietà di quasi periodicità:

Dobbiamo raccordare le soluzioni in x=a, imponendo la continuità di u(x), e una discontinuità finita della derivata prima (ciò è una conseguenza della presenza di una delta di Dirac, e si ricava facilmente prendendo l'integrale tra -ε e &epsilon di primo e secondo membro dell'eq. di Schrödinger, mandando poi &epsilon->0). Abbiamo

Tenendo delle equazioni scritte più sopra:

che è un sistema lineare omogeneo nelle incognite A,B. Affinché tale sistema ammetta soluzioni non banali, deve annullarsi il determinante della matrice dei coefficienti, da cui otteniamo facilmente

Quindi

Ma &eomga; è un numero complesso, per cui

che è una disequazione in E, e va risolta graficamente come in fig.

Vediamo dunque che lo spettro dell'hamiltoniano è l'unione di un numero infinito di intervalli separati da intervalli proibiti di ampiezza di ε_g (variabile da intervallo a intervallo) e che denota la cosiddetta banda proibita (gap). Individuando un autovalore E, con esso calcoliamo ω e quindi la costanti di integrazione risolvendo il predetto sistema. In tal modo si ottiene la corrispondente autofunzione dell'energia definita a meno di una costante di normalizzazione (su una funzione delta).

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