» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Molla appesa a un'estremità

Settembre 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Una molla di costante elastica k, senza massa e non in tensione, ha una lunghezza l₀. Essa è appesa a un'estremità, all'altra estremità è fissato un corpo di massa m (fig: 1). Il moto avviene solo nel piano verticale con accelerazione di gravità g.

a)Si scriva la lagrangiana.

b) Posto r₀ la lunghezza a riposo della molla ma provvista della massa m, scrivere le equazioni di Lagrange usando le variabili θ e λ=r-r/r₀.

c) Discutere l'approssimazione più bassa per le variabili del moto quando θ e λ sono piccoli e al tempo t=0 si abbia

d)In quali condizioni si manifesterà la risonanza del moto? E ciò potrebbe essere fisicamente realizzabile?

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Soluzione
Quesito a

In coordinate polari (r,θ) la velocità è

e quindi l'energia cinetica:

L'energia potenziale di gravità e di deformazione elastica:

La lagrangiana:

Quesito b
Calcoliamo le 4 derivate parziali

da cui l'equazioni di Eulero-Lagrange:

La lunghezza a riposo della molla di massa m e agganciata a distanza r₀ è data dalla legge di Hooke:

Così se

abbiamo

e le equazioni del moto nelle variabili λ e θ diventano:

Posto

si ha

Quesito c

Quando le λ e θ sono piccole possiamo trascurare le quantità di secondo ordine in

e le equazioni del moto si riducono a

che rappresentano l'approssimazione di calcolo più bassa. Per le condizioni iniziali troviamo

dunque oscillazioni che differiscono nella loro fase di π/2.
Quesito d
Se volessimo considerare anche i termini del secondo ordine le equazioni diventano

Sostituendo nella prima equazione i suddetti λ e θ si ha

Così λ entra in risonanza se

Questo comunque è improbabile che si realizzi fisicamente perché come l'ampiezza di ? aumenta verso la risonanza l'approssimazione di ordine più basso non regge più e gli effetti di ordine superiore si manifesteranno. Inoltre proprietà non lineari della molla entreranno in gioco, invalidando il modello di calcolo originale semplificato.

Tags: legge di hooke, molla, risonanza

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