Molla appesa a un'estremità

Settembre 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

molla, legge di hooke, risonanza
Fig. 1


Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una molla di costante elastica k, senza massa e non in tensione, ha una lunghezza l0. Essa è appesa a un'estremità, all'altra estremità è fissato un corpo di massa m (fig: 1). Il moto avviene solo nel piano verticale con accelerazione di gravità g.

a)Si scriva la lagrangiana.

b) Posto r0 la lunghezza a riposo della molla ma provvista della massa m, scrivere le equazioni di Lagrange usando le variabili θ e λ=r-r/r0.

c) Discutere l'approssimazione più bassa per le variabili del moto quando θ e λ sono piccoli e al tempo t=0 si abbia


d)In quali condizioni si manifesterà la risonanza del moto? E ciò potrebbe essere fisicamente realizzabile?


Soluzione
Quesito a

In coordinate polari (r,θ) la velocità è


e quindi l'energia cinetica:


L'energia potenziale di gravità e di deformazione elastica:

La lagrangiana:

Quesito b
Calcoliamo le 4 derivate parziali

da cui l'equazioni di Eulero-Lagrange:


La lunghezza a riposo della molla di massa m e agganciata a distanza r0 è data dalla legge di Hooke:

Così se

abbiamo


e le equazioni del moto nelle variabili λ e θ diventano:

Posto

si ha

Quesito c

Quando le λ e θ sono piccole possiamo trascurare le quantità di secondo ordine in


e le equazioni del moto si riducono a


che rappresentano l'approssimazione di calcolo più bassa. Per le condizioni iniziali troviamo

dunque oscillazioni che differiscono nella loro fase di π/2.
Quesito d
Se volessimo considerare anche i termini del secondo ordine le equazioni diventano

Sostituendo nella prima equazione i suddetti λ e θ si ha


Così λ entra in risonanza se

Questo comunque è improbabile che si realizzi fisicamente perché come l'ampiezza di ? aumenta verso la risonanza l'approssimazione di ordine più basso non regge più e gli effetti di ordine superiore si manifesteranno. Inoltre proprietà non lineari della molla entreranno in gioco, invalidando il modello di calcolo originale semplificato.

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