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Le tre leggi di Keplero

Marzo 31st, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo dalla lezione precedente, riferendoci al caso ellittico. Vale a dire, la particella è confinata nella corona circolare di raggi

per cui l'orbita è del tipo di quella tracciata in fig. 1. Il semiasse maggiore e il semiasse minore sono dati da

ove abbiamo rammentato le espressioni delle varie grandezze in gioco, viste nella lezione precedente.

Dallo studio dei moti unidimensionali sappiamo che se la regione classicamente accessibile è un intervallo limitato, la particella compie un moto periodico, da cui la periodicità del moto ellittico in virtù dell'equivalenza tra un moto in un campo centrale e il moto unidimensionale (con l'aggiunta del potenziale centrifugo). Per determinare il periodo del moto, utilizziamo la seconda legge di Keplero espressa dalla costanza della velocità areolare:

per cui se T è il periodo del moto, deve essere

dove a secondo membro compare l'area dell'ellisse. Abbiamo

Segue (ricordando l'espressione del semiasse minore b)

Elevando al quadrato:

che esprime la terza legge di Keplero: Il cubo del semiasse maggiore dell'orbita ellittica è proporzionale al quadrato del periodo.

Tags: prima legge di keplero, seconda legge di keplero, terza legge di keplero

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