» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Moto in un campo centrale. Seconda legge di Keplero

martedì, Settembre 28th, 2021

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Esercizi di Meccanica analitica elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Esercizio

Consideriamo due particelle interagenti per mezzo di una forza centrale (potenziale V(r) dove r è il modulo del vettore posizione; fig. 1.
a) Ottenere la lagrangiana del centro di massa e mostrare che l'energia e il momento angolare si conservano. Provare che il moto è in un piano e soddisfa la seconda legge di Keplero (il vettore posizione spazia aree uguali in tempi uguali).
b) Supporre che il potenziale sia

e che l'energia E sia conosciuta. Trovare le espressioni dei valori minimo e massimo che r assume nel corso del moto.

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Soluzione

Poiché le forze agiscono sulle particelle sempre lungo la linea di separazione, il moto rimane confinato nel piano in cui le particelle inizialmente si sono mosse. Usiamo le coordinate polari con origine in fig. 1. Per definizione di centro di massa abbiamo

Quesito a
L'energia cinetica delle particelle è

Dall'equazione scritta più sopra, segue

dove

è la massa ridotta del sistema. L'energia potenziale è

Ne segue la lagrangiana

Pavendo assunto r₂,θ come coordinate generalizzate. La lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, per cui

avendo usato le equazioni di Lagrange. Quindi:

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Le tre leggi di Keplero

mercoledì, Marzo 31st, 2021

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Riprendiamo dalla lezione precedente, riferendoci al caso ellittico. Vale a dire, la particella è confinata nella corona circolare di raggi

per cui l'orbita è del tipo di quella tracciata in fig. 1. Il semiasse maggiore e il semiasse minore sono dati da

ove abbiamo rammentato le espressioni delle varie grandezze in gioco, viste nella lezione precedente.
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