Sottospazio vettoriale dei tensori completamente simmetrici

Marzo 18th, 2020 | by Marcello Colozzo |

tensori completamente simmetrici,sottospazio vettoriale,matrici simmetriche — **Fig. 1**

Assegnato uno spazio vettoriale E_n e preso ad arbitrio un intero naturale r, consideriamo lo spazio prodotto tensoriale

e quindi, il suo sottoinsieme

i cui elementi sono i tensori r-covarianti completamente simmetrici. Mostriamo che si tratta di un sottospazio vettoriale di E_n^*(r). Infatti:

La chiusura di S_n^*(r) rispetto alle leggi di composizione di addizione di moltiplicazione per uno scalare, implica che tale insieme è un sottospazio vettoriale di E_n^*(r). Ovviamente siamo interessati alla dimensione di tale spazio. Intanto osserviamo che

In particolare, per r=2 e in una base assegnata si ha

È chiaro che

essendo S_K(n) l'insieme delle matrici (sul campo K) simmetriche di ordine n. Come è noto, tale insieme è un sottospazio vettoriale dello spazio M_K(n) delle matrici quadrate di ordine n. Ed è evidente che S_n^*(r) è isomorfo a S_K(n); per un noto teorema si ha che tali spazi sono isodimensionali, cosicché

È facile convincersi che

Esercizio

Mostrare che

Ne consegue

Ad esempio

Per generalizzare tali risultati a un qualunque rango r, è necessario rispolverare alcune nozioni di calcolo combinatorio, che sarà l'oggetto di un prossimo numero.

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