[¯|¯] Il paradosso dell'amico di Wigner secondo Hugh Everett III

Aprile 1st, 2019 | by Marcello Colozzo |

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The Wigner's Friend Paradox is treated in the doctoral thesis of Hugh Everett III, the famous physicist who, towards the end of the 50s of the last century, formulated the famous < b>Many Worlds Interpretation. In fact, in his thesis Everett writes in the introduction that the postulates of quantum mechanics (as regards the measurement process of an observable) lead to a contradiction if we consider several observers who perform the same measurement but under different conditions. Everett starts from the following conceptual experiment: a closed room R contains a quantum system S and an experimenter A. Suppose that S is characterized by an observable X represented by the following self-adjoint operator (in the appropriate Hilbert space H), whose eigenvalue equation is

In other words, we are assuming that this operator has a purely discrete spectrum. From a known property it follows that by performing a normalization, we have

Furthermore, the system is by hypothesis initially prepared in a linear superposition of eigenstates of X:

where the superscript reminds us that the measurements are performed by A with an appropriate macroscopic measuring apparatus. The time evolutional tempo t dello stato iniziale è

where H is the Hamiltonian operator which we can assume is not explicitly dependent on time. Without loss of generality, assume that the observables energy and X are compatible:

so that we can make the time evolute explicit:

If at time t1 > t0, experimenter A measures the observable X, the state of the system reduces (or "collapses" to) one of the eigenstates of X:

con probabilità

Now let's add a second experimenter (B) who is outside the room, as illustrated in fig.

For the new observer, the system under consideration is A+S, and its state vector is written (at all times):

where A_n are the possible results of the measurements performed by A. By hypothesis, B performs the measurement (entering room R) at an instant t2 > t1:

It follows that the result of the measurement is decided by B (following its entry into R) independently of the action of A at times t < t2. This conclusion is manifestly contradictory. According to Everett, the only way to resolve this contradiction is to abandon the notion of "reduction" of the state vector.

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Il paradosso dell'amico di Wigner è trattato nella tesi di dottorato di Hugh Everett III, il famoso fisico che verso la fine degli anni 50 del secolo scorso, formulò la celebre Many Worlds Interpretation. Infatti, nella sua tesi Everett nell'introduzione scrive che i postulati della meccanica quantistica (per ciò che riguarda il processo di misura di una osservabile) conducono a una contraddizione se si considerano più osservatori che eseguono la medesima misura ma sotto condizioni differenti. Everett parte dal seguente esperimento concettuale: una stanza chiusa R contiene un sistema quantistico S e uno sperimentatore A. Supponiamo che S sia caratterizzato da una osservabile X rappresentata dal seguente operatore autoaggiunto (nell'appropriato spazio di Hilbert H), la cui equazione agli autovalori è

Stiamo cioè ipotizzando che tale operatore sia dotato di spettro puramente discreto. Da una nota proprietà segue che eseguendo una normalizzazione, si ha

Inoltre, il sistema è per ipotesi inzialmente preparato in una sovrapposizione lineare di autostati di X:

dove l'apice ci ricorda che le misure vengono eseguite da A con un appropriato apparato di misura macroscopico. L'evoluto temporale al tempo t dello stato iniziale è

dove H è l'operatore hamiltoniano che possiamo supporre non dipendente esplicitamente dal tempo. Senza perdita di generalità, assumiamo che le osservabili energia e X sia compatibili:

cosicché possiamo esplicitare l'evoluto temporale:

Se nell'istante t1 > t0, lo sperimentatore A esegue una misura dell'osservabile X, lo stato del sistema si riduce (o "collassa" su) a uno degli autostati di X:

con probabilità

Ora aggiungiamo un secondo sperimentatore (B) che si trova fuori della stanza, come illustrato in fig.

Per il nuovo osservatore, il sistema in esame è A+S, e il suo vettore di stato si scrive (a tutti i tempi):

dove A_n sono i possibili risultati delle misure eseguite da A. Per ipotesi, B esegue la misura (entrando nella stanza R) in un istante t2 > t1:

Ne consegue che il risultato della misura è deciso da B (in seguito al suo ingresso in R) indipendentemente dall'azione di A a tempi t < t2. Tale conclusione è manifestamente contraddittoria. Secondo Everett, l'unico modo per risolvere tale contraddizione consiste nel rinunciare alla nozione di "riduzione" del vettore di stato.

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