[¯|¯] Definizione di insieme. Il paradosso di Russell

Giugno 5th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Un insieme è un "Molti" che si lascia
pensare come un "Uno"
G. Cantor, 1883

Prima di passare alla definizione di insieme e al paradosso di Russel, citiamo alcuni brani del libro La mente e l'infinito del matematico e scrittore Rudy Rucker

Proviamo a pensare al Tutto, all'universo passato e presente nella sua interezza, a tutti gli universi possibili, a tutti i possibili pensieri, a tutti gli insiemi di enti matematici.

Si può pensare a tutto ciò? Il classico problema Uno/Molti nasce dalla seguente domanda: il Tutto può essere considerato come un singolo oggetto, come un'unità? Il mondo è un Uno o un Molti?
[...]

C'è tuttavia un desiderio inesauribile di ridurre la molteplicità dei fenomeni del mondo a un unico tipo fondamentale, di credere che in ultima analisi tutte le cose siano fatte della stessa sostanza. Materia, sensazione, pensiero e forma sono stati tutti candidati per la qualifica di "Urstoff", di materia primordiale. La credenza che vi sia in ultima analisi un solo tipo di oggetti nel mondo è detta "monismo dei generi".
[...]

Invece di formare unità comprendenti molteplici oggetti a partire dal basso, si può partire dall'alto usando l'asserzione "Tutto è Uno". Il monismo della sostanza asserisce che ogni cosa è una parte o una manifestazione di un'unità superiore che è usualmente chiamata l'Assoluto.

La nozione di elemento è assunta come primitiva, ossia non riconducibile a concetti più semplici. Il termine oggetto è spesso utilizzato come sinonimo di elemento.

Allo stesso modo, quella di totalità o classe di oggetti, è una nozione primitiva.
Esempio
Gli alunni presenti in un'aula costituiscono una "classe" i cui elementi sono i singoli alunni.

Definizione
Dicesi insieme una classe tale che esista una legge che sia in grado di stabilire l'appartenenza o la non appartenenza di un elemento alla classe medesima.

Esempio
In un piano α sia data una circonferenza γ di centro Ω e raggio R. I punti di γ costituiscono un insieme, giacché è univocamente definita la legge di appartenenza:

essendo |ΩP| la misura assoluta del segmento ΩP.
Per evitare il paradosso di Russel, formuliamo la seguente definizione:
Definizione
Un insieme normale è un insieme che non contenga sé stesso come elemento. Un insieme anormale è un insieme che contenga sé stesso come elemento.

A questo punto, manteniamo distinte le nozioni di insieme e di classe di oggetti. Dimostriamo la seguente proposizione:
Proposizione
Ipotesi: N è la classe degli insiemi normali
Tesi: N non è un insieme.

Dimostrazione
Procediamo per assurdo. La negazione della tesi è:

N è un insieme

Segue che N appartiene a sé stesso come elemento, giacché per definizione N è la classe degli insiemi normali. Quindi N contiene sé stesso come elemento, per cui N è un insieme anormale, contraddicendo l'assunto iniziale.

Assumiamo ora che N sia un insieme anormale. Ciò implica necessariamente l'appartenenza di N a sé stesso come elemento. Ma N è per definizione la classe degli insiemi normali, per cui se N appartiene (come elemento) a N, ne consegue che N è normale, contraddicendo l'assunto precedente, onde l'asserto.

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