[¯|¯] Dirac ha a disposizione infiniti pettini di ordine N

Febbraio 14th, 2017 | by Marcello Colozzo |

funzione delta di dirac,pettine di dirac,teoria delle distribuzioni,punto di accumulazione


Eseguiamo una decomposizione D([a,b]) di un intervallo [a,b] contenuto nell'insieme R dei numeri reali, ssegnando ad arbitrio N+1 punti, essendo N un intero naturale non nullo.

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La norma o ampiezza della decomposizione è il numero reale positivo:

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Segue che [a,b] si decompone in N intervalli:

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Il numero di punti della decomposizione si esprime formalmente

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dove δ(x-xk) è la funzione delta di Dirac centrata in xk. Quindi

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Dal momento che

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si può scrivere:
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Senza perdita di generalità, riferiamoci a una decomposizione di norma costante:

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cosicché
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da cui vediamo che le singole delte di Dirac si comportano da "segnaposto" per i singoli punti della decomposizione, e come tali enumerano i predetti punti. Infatti, troviamo N+1 delte di Dirac che compongono un pettine di Dirac di ordine N, come illustrato in figura:

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Fig. 1


Per N->+oo
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essendo ρ(x) la densità del numero di punti di [a,b] ed è chiaro che

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giacché ogni punto di [a,b] è punto di accumulazione, per cui in ogni suo intorno cadono infiniti punti di [a,b] distinti da x. Ne concludiamo che l'operazione di passaggio al limite

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definisce un tentativo di enumerazione dei reali in [a,b] attraverso la generalizzazione al continuo di un pettine di Dirac di ordine N.

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