[¯|¯] Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche

Febbraio 5th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Per il calcolo di limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche occorre memorizzare i seguenti limiti fondamentali:

Dagli ultimi due limiti segue che le funzioni
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riconducibili l'una all'altra attraverso il cambio di variabile t=1/x, convergono al numero e rispettivamente per x->±oo e x->0:

Evidentemente

Tuttavia i predetti limiti capitano sovente, per cui vale la pena calcolarli. Anzi, è preferibile tracciare il grafico delle funzioni f,g, visto che spesso si fa confusione scrivendo ad esempio:

Iniziamo con la funzione f il cui campo di esistenza X₁ è tale che

che si risolve facilmente disegnando il diagramma riportato in fig. 2.

Ne consegue che il campo di esistenza di f è

Studiamo il comportamento della funzione in un intorno sinistro di x=-1 calcolando:

Il secondo passaggio si giustifica osservando che

Ci si può aiutare per via grafica: il grafico di 1+1/x è il grafico di 1/x traslato di 1 nella direzione dell'asse y positivo, come illustrato in fig. 3.

La divergenza positiva della funzione ci sta dicendo che la retta x=-1 è asintoto verticale a sinistra per il grafico della funzione. Studiamo ora il comportamento della funzione in un intorno destro di x=0 calcolando:

In casi come questi viene utilizzato il seguente artificio:

Calcoliamo a parte

Segue

Quindi x=1 è un punto di discontinuità eliminabile. Il comportamento all'infinito è regolato dai limiti che già conosciamo:

onde la retta y=e è asintoto orizzontale sia destra che a sinistra. In fig. 1 riportiamo il grafico completo.

Passiamo alla funzione g(x). Qui l'insieme di definizione X₂ è tale che
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Il comportamento della funzione in un intorno del punto di accumulazione x=0 è regolato dal limite fondamentale

Studiamo il comportamento in un intorno destro di x=-1:
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Anche qui ci si può convincere della correttezza del secondo passaggio utilizzando la via grafica. Segue che la retta x=-1 è asintoto verticale a destra per il diagramma cartesiano della funzione. Studiamo il comportamento della funzione per x->+oo.

Utilizziamo l'artificio:
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Per quanto visto in precedenza

Quindi la retta y=1 è asintoto orizzontale a destra. In fig. riportiamo il grafico completo.

Siamo quindi in grado di completare la nostra tabella:

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