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Velocità di gruppo e velocità di fase

Un osservatore O è fermo su un pontile, in mare mosso. Tra le varie onde, egli ne osserva una particolarmente intensa per cui punta il suo sguardo verso la cresta di quest'ultima; egli la vede avvicinare progressivamente, ma nell'istante in cui raggiunge il pontile, nota che l'ampiezza dell'onda si è ridotta notevolemente. Alzando lo sguardo, l'osservatore vede che la perturbazione intensa si è trasferita su un'onda successiva, e può ripetere più volte la stessa osservazione prima di essere raggiunto dall'onda con la massima ampiezza. Dare una spiegazione qualitativa di questo ritardo.

Soluzione

Il ritardo si spiega attraverso la nozione di velocità di fase e la velocità di gruppo di un pacchetto d'onde, giacché dal testo appare chiaro che O è in presenza di un pacchetto d'onde. Le predette velocità si esprimono come:

dove ω è la pulsazione e k=2π/λ il numero d'onde, essendo λ la lunghezza d'onda. È preferibile esprimere tali velocità in funzione della lunghezza d'onda. In tal caso λ diviene una funzione composta di ?, e applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si perviene facilmente a

da cui vediamo che le due velocità coincidono se e solo se la velocità di fase è indipendente da λ. Per le onde marine la velocità di fase decresce con la lunghezza d'onda per cui è v_g < v_g (è circa la metà). La prima onda avvistata dall'osservatore si muove con la velocità di fase, mentre la perturbazione massima si propaga con la velocità di gruppo, e si giustifica così il ritardo di arrivo.