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Gli zeri della funzione zeta di Riemann potrebbero essere punti di sella per la parte reale e la parte immaginaria

A differenza delle funzioni reali di due variabili reali, i cui zeri possono distribuirsi con continuità secondo un luogo geometrico assegnato, per le funzioni olomorfe gli zeri costituiscono un insieme al più infinito numerabile.

Nel caso delle funzioni reali si pensi all'esempio di f(x,y)=sin(x*y), per cui il luogo degli zeri è l'intersezione della superficie z=sin(x*y) con il piano coordinato xy. Quindi x*y=k*pi.

Per quanto precede, per una funzione olomorfa il grafico del modulo della funzione interseca il piano xy dando luogo a un insieme di punti isolati. È intuitivo considerare questi punti quali punti di estremo relativo per la funzione. Ma ciò è impossibile perché sarebbero punti di estremo relativo per la parte reale e la parte immaginaria della funzione zeta. Ma tali funzioni sono funzioni armoniche e per una nota proprietà, esse sono prive di punti di estremo relativo (al più sono punti di sella).

Provando a graficare con Mathematica il modulo della funzione zeta di Riemann, otteniamo il grafico di fig. 1, da cui sono visibili alcuni zeri non banali che "toccano" il piano cartesiano. Nel grafico seguente cambiamo punto di vista, e i predetti punti sembrano cuspidi o angolosi. Ciò però è una conseguenza del fatto di aver plottato il modulo.