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Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann

Introduzione

Come è noto:

dove ζ(s) è la funzione zeta di Riemann. Ricordiamo che denotando con s=x+iy l'usuale variabile complessa, si ha

per cui nella prima equazione il primo membro è il prolungamento analitico della somma della serie di Dirichlet appena scritta. Si esclude s=1 a causa della singolarità (polo semplice) della funzione zeta.

Riemann ricavò la seguente equazione funzionale:

Ipotesi di Riemann (RH)

Gli zeri non banali della ζ(s) cadono nella striscia critica

da ciò segue la simmetria della funzione zeta rispetto alla retta critica Re(s)=1/2. Un'altra importante simmetria è rispetto all'asse reale. Quindi riferiamoci alla semistriscia critica:

Teorema (Ipotesi di Riemann)
Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, hanno parte reale 1/2.

Dim.

Dalle equazioni scritte più sopra

dove

ed ivi olomorfa, giacché le singolarità di Γ(s) sono in s=-n, esendo n intero naturale arbitrario. Dalla formula di Eulero segue facilmente

da cui separando la parte reale dalla parte immaginaria:

essendo

Deriviamo primo e secondo membro della prima delle eq. scritte sopra, rispetto a x

Deriviamo nuovamente

Otteniamo facilmente la derivata parziale di ordine n

Alla stessa maniera

Osservazione
Dall'olomorfia di ζ(s) sulla striscia critica, segue l'analiticità delle funzioni reali F,G rispetto alle singole variabili. Ne segue che l'esistenza di tutte le derivate; inoltre non possono essere tutte nulle (in un assegnato punto).

Sia (x₀,y₀) uno zero non banale della funzione zeta:

Quindi osservando che ξ₀=1-x₀

Esplicitiamo le singole derivate:

Allo stesso modo

Segue

dove

Ponendo x₀'=1-x₀ per poi ridefinire tale variabile in x₀, si ha

Iterando tale sostituzione:

da cui l'operazione di passaggio al limite:

onde l'evidente divergenza dell'esponente di ln t. Nel caso particolare x₀=1/2 il processo converge banalmente nel senso che restituisce l'identità