Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann

Luglio 20th, 2022 | by Marcello Colozzo |

Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann
Fig. 1.

Introduzione

Come è noto:

dove ζ(s) è la funzione zeta di Riemann. Ricordiamo che denotando con s=x+iy l'usuale variabile complessa, si ha

per cui nella prima equazione il primo membro è il prolungamento analitico della somma della serie di Dirichlet appena scritta. Si esclude s=1 a causa della singolarità (polo semplice) della funzione zeta.

Riemann ricavò la seguente equazione funzionale:

Ipotesi di Riemann (RH)

Gli zeri non banali della ζ(s) cadono nella striscia critica

da ciò segue la simmetria della funzione zeta rispetto alla retta critica Re(s)=1/2. Un'altra importante simmetria è rispetto all'asse reale. Quindi riferiamoci alla semistriscia critica:

Teorema (Ipotesi di Riemann)
Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, hanno parte reale 1/2.

Dim.

Dalle equazioni scritte più sopra


dove

ed ivi olomorfa, giacché le singolarità di Γ(s) sono in s=-n, esendo n intero naturale arbitrario. Dalla formula di Eulero segue facilmente


da cui separando la parte reale dalla parte immaginaria:


essendo

Deriviamo primo e secondo membro della prima delle eq. scritte sopra, rispetto a x

Deriviamo nuovamente

Otteniamo facilmente la derivata parziale di ordine n


Alla stessa maniera

Osservazione
Dall'olomorfia di ζ(s) sulla striscia critica, segue l'analiticità delle funzioni reali F,G rispetto alle singole variabili. Ne segue che l'esistenza di tutte le derivate; inoltre non possono essere tutte nulle (in un assegnato punto).

Sia (x0,y0) uno zero non banale della funzione zeta:


Quindi osservando che ξ0=1-x0


Esplicitiamo le singole derivate:

Allo stesso modo


Segue


dove


Ponendo x0'=1-x0 per poi ridefinire tale variabile in x0, si ha


Iterando tale sostituzione:

da cui l'operazione di passaggio al limite:


onde l'evidente divergenza dell'esponente di ln t. Nel caso particolare x0=1/2 il processo converge banalmente nel senso che restituisce l'identità

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)
Articoli correlati

Commenta l'esercizio