Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann
Luglio 20th, 2022 | by Marcello Colozzo |
Introduzione
Come è noto:

dove ζ(s) è la funzione zeta di Riemann. Ricordiamo che denotando con s=x+iy l'usuale variabile complessa, si ha

per cui nella prima equazione il primo membro è il prolungamento analitico della somma della serie di Dirichlet appena scritta. Si esclude s=1 a causa della singolarità (polo semplice) della funzione zeta.
Riemann ricavò la seguente equazione funzionale:

Ipotesi di Riemann (RH)
Gli zeri non banali della ζ(s) cadono nella striscia critica

da ciò segue la simmetria della funzione zeta rispetto alla retta critica Re(s)=1/2. Un'altra importante simmetria è rispetto all'asse reale. Quindi riferiamoci alla semistriscia critica:

Teorema (Ipotesi di Riemann)
Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, hanno parte reale 1/2.
Dim.
Dalle equazioni scritte più sopra
dove
ed ivi olomorfa, giacché le singolarità di Γ(s) sono in s=-n, esendo n intero naturale arbitrario. Dalla formula di Eulero segue facilmente
da cui separando la parte reale dalla parte immaginaria:
essendo
Deriviamo primo e secondo membro della prima delle eq. scritte sopra, rispetto a x
Deriviamo nuovamente
Otteniamo facilmente la derivata parziale di ordine n
Alla stessa maniera
Osservazione
Dall'olomorfia di ζ(s) sulla striscia critica, segue l'analiticità delle funzioni reali F,G rispetto alle singole variabili. Ne segue che l'esistenza di tutte le derivate; inoltre non possono essere tutte nulle (in un assegnato punto).
Sia (x0,y0) uno zero non banale della funzione zeta:
Quindi osservando che ξ0=1-x0
Esplicitiamo le singole derivate:
Allo stesso modo
Segue
dove
Ponendo x0'=1-x0 per poi ridefinire tale variabile in x0, si ha
Iterando tale sostituzione:
da cui l'operazione di passaggio al limite:
onde l'evidente divergenza dell'esponente di ln t. Nel caso particolare x0=1/2 il processo converge banalmente nel senso che restituisce l'identità